ද්විතීයික පාසලක (9 ශ්‍රේණියේ) වීජ ගණිතය අධ්‍යයනය කරන විට, වැදගත් මාතෘකාවක් වන්නේ සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලවල් අධ්‍යයනය කිරීමයි, එයට ප්‍රගතිය ඇතුළත් වේ - ජ්‍යාමිතික සහ අංක ගණිතය. මෙම ලිපියෙන් අපි අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සහ විසඳුම් සමඟ උදාහරණ සලකා බලමු.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් යනු කුමක්ද?

මෙය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, සලකා බලනු ලබන ප්‍රගතිය පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දීම මෙන්ම ගැටළු විසඳීමේදී තවදුරටත් භාවිතා කරන මූලික සූත්‍ර ලබා දීම අවශ්‍ය වේ.

ගණිතමය හෝ වීජීය ප්‍රගමනයක් යනු එවැනි අනුපිළිවෙලකට අනුකුල සංඛ්‍යා සමූහයක් වන අතර, එහි එක් එක් සාමාජිකයා පෙර එකට වඩා යම් නියත අගයකින් වෙනස් වේ. මෙම අගය වෙනස ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, ඇණවුම් කළ සංඛ්‍යා මාලාවක ඕනෑම සාමාජිකයෙකු සහ වෙනස දැන ගැනීමෙන් ඔබට සම්පූර්ණ අංක ගණිත ප්‍රගතිය ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය.

අපි උදාහරණයක් ගනිමු. සංඛ්‍යාවල මීළඟ අනුපිළිවෙල අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් වනු ඇත: 4, 8, 12, 16, ..., මෙම නඩුවේ වෙනස 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). නමුත් 3, 5, 8, 12, 17 ඉලක්කම් කට්ටලය තවදුරටත් සලකා බලන ලද ප්‍රගතියට ආරෝපණය කළ නොහැක, මන්ද එහි වෙනස නියත අගයක් නොවන බැවිනි (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

වැදගත් සූත්ර

අපි දැන් අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් භාවිතයෙන් ගැටළු විසඳීමට අවශ්‍ය මූලික සූත්‍ර ලබා දෙමු. n යනු නිඛිලයක් වන අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. වෙනස ලතින් අකුර d මගින් දැක්වේ. එවිට පහත ප්‍රකාශන සත්‍ය වේ.

1. N වන පදයේ අගය තීරණය කිරීම සඳහා, සූත්‍රය සුදුසු වේ: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. පළමු n පදවල එකතුව තීරණය කිරීම සඳහා: S n = (a n + a 1)*n/2.

9 ශ්‍රේණියේ විසඳුමක් සමඟ අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් පිළිබඳ ඕනෑම උදාහරණ තේරුම් ගැනීමට, මෙම සූත්‍ර දෙක මතක තබා ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ, ප්‍රශ්නයේ ඇති ආකාරයේ ඕනෑම ගැටළුවක් ඒවායේ භාවිතය මත ගොඩනගා ඇත. එසේම, ප්රගති වෙනස සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලබන බව අමතක නොකරන්න: d = a n - a n-1 .

උදාහරණ #1: නොදන්නා සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීම

අපි ගණිතමය ප්‍රගතියක් සහ විසඳීමට භාවිතා කළ යුතු සූත්‍ර පිළිබඳ සරල උදාහරණයක් දෙන්නෙමු.

10, 8, 6, 4, ... අනුපිළිවෙලට ඉඩ දෙන්න, එහි පද පහක් සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ.

පළමු පද 4 දන්නා බව ගැටලුවේ කොන්දේසි වලින් දැනටමත් එය අනුගමනය කරයි. පස්වන දෙය ආකාර දෙකකින් අර්ථ දැක්විය හැකිය:

1. අපි මුලින්ම වෙනස ගණනය කරමු. අපට ඇත්තේ: d = 8 - 10 = -2. ඒ හා සමානව, කෙනෙකුට එක ළඟ සිට වෙනත් ඕනෑම පද දෙකක් ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, d = 4 - 6 = -2. d \u003d a n - a n-1, පසුව d \u003d a 5 - a 4 බව දන්නා බැවින්, අපට ලැබෙන ස්ථානයෙන්: a 5 \u003d a 4 + d. අපි දන්නා අගයන් ආදේශ කරමු: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. දෙවන ක්‍රමයට ප්‍රශ්නයේ ප්‍රගතියේ වෙනස පිළිබඳ දැනුමක් ද අවශ්‍ය වේ, එබැවින් ඔබ මුලින්ම එය තීරණය කළ යුතුය, ඉහත පෙන්වා ඇති පරිදි (d = -2). පළමු පදය a 1 = 10 බව දැන, අපි අනුපිළිවෙලෙහි n අංකය සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමු. අපට ඇත්තේ: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. අවසාන ප්‍රකාශනයට n = 5 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, විසඳුම් දෙකම එකම ප්රතිඵලය කරා යොමු කරයි. මෙම උදාහරණයේ ප්‍රගතියේ වෙනස d සෘණ බව සලකන්න. සෑම අනුක්‍රමික පදයක්ම පෙර එකට වඩා අඩු බැවින් එවැනි අනුපිළිවෙල අඩුවීමක් ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණ #2: ප්‍රගති වෙනස

දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු, කෙසේද යන්න පිළිබඳ උදාහරණයක් දෙන්න

සමහරුන්ගේ 1 වන වාරය 6 ට සමාන වන අතර 7 වන වාරය 18 ට සමාන බව දන්නා කරුණකි. වෙනස සොයාගෙන මෙම අනුපිළිවෙල 7 වන වාරයට ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

නොදන්නා පදය තීරණය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු: a n = (n - 1) * d + a 1 . අපි කොන්දේසියෙන් දන්නා දත්ත එයට ආදේශ කරමු, එනම් අංක a 1 සහ 7, අපට ඇත්තේ: 18 \u003d 6 + 6 * d. මෙම ප්‍රකාශනයෙන්, ඔබට පහසුවෙන් වෙනස ගණනය කළ හැකිය: d = (18 - 6) / 6 = 2. මේ අනුව, ගැටලුවේ පළමු කොටසට පිළිතුරු සපයන ලදී.

7 වන සාමාජිකයා වෙත අනුපිළිවෙල ප්‍රතිසාධනය කිරීම සඳහා, ඔබ වීජීය ප්‍රගතියක ​​අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කළ යුතුය, එනම්, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, සහ යනාදිය. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සම්පූර්ණ අනුපිළිවෙල ප්රතිෂ්ඨාපනය කරමු: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 සහ 7 = 18.

උදාහරණ #3: ප්‍රගතියක් ඇති කිරීම

ගැටලුවේ තත්වය වඩාත් සංකීර්ණ කරමු. දැන් ඔබ ගණිතමය ප්රගතියක් සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්රශ්නයට පිළිතුරු දිය යුතුය. අපට පහත උදාහරණය දිය හැක: සංඛ්‍යා දෙකක් ලබා දී ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, 4 සහ 5. මේ අතර තවත් පද තුනක් ගැලපෙන පරිදි වීජීය ප්‍රගතියක් සිදු කිරීම අවශ්‍ය වේ.

මෙම ගැටළුව විසඳීමට පෙර, අනාගත ප්‍රගතියේදී ලබා දී ඇති සංඛ්‍යා කුමන ස්ථානයට පත්වේ දැයි තේරුම් ගත යුතුය. ඔවුන් අතර තවත් පද තුනක් ඇති බැවින්, 1 \u003d -4 සහ 5 \u003d 5. මෙය ස්ථාපිත කිරීමෙන් පසු, අපි පෙර එකට සමාන කාර්යයකට යන්නෙමු. නැවතත්, n වන වාරය සඳහා, අපි සූත්‍රය භාවිතා කරමු, අපට ලැබෙන්නේ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. වෙතින්: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. මෙහි වෙනස පූර්ණ සංඛ්‍යා අගයක් නොව එය තාර්කික සංඛ්‍යාවක් බැවින් වීජීය ප්‍රගමනය සඳහා වන සූත්‍ර එලෙසම පවතී.

දැන් අපි සොයාගත් වෙනස 1 ට එකතු කර ප්‍රගතියේ නැතිවූ සාමාජිකයින් ප්‍රතිසාධනය කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u, ගැටලුවේ තත්වය සමග සමපාත විය.

උදාහරණ #4: ප්‍රගතියේ පළමු සාමාජිකයා

අපි විසඳුමක් සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය සඳහා උදාහරණ දිගටම ලබා දෙන්නෙමු. පෙර පැවති සියලුම ගැටළු වලදී, වීජීය ප්‍රගතියේ පළමු අංකය දැන සිටියේය. දැන් වෙනස් ආකාරයේ ගැටලුවක් සලකා බලන්න: අංක දෙකක් ලබා දෙන්න, එහිදී 15 = 50 සහ 43 = 37. මෙම අනුපිළිවෙල ආරම්භ වන්නේ කුමන අංකයෙන්ද යන්න සොයා බැලිය යුතුය.

මෙතෙක් භාවිතා කර ඇති සූත්‍ර 1 සහ d පිළිබඳ දැනුම උපකල්පනය කරයි. ගැටලුවේ තත්වය තුළ මෙම සංඛ්යා ගැන කිසිවක් දන්නේ නැත. එසේ වුවද, අපට තොරතුරු ඇති සෑම පදයක් සඳහාම ප්‍රකාශන ලියන්නෙමු: a 15 = a 1 + 14 * d සහ a 43 = a 1 + 42 * d. අපට නොදන්නා ප්‍රමාණ 2ක් (a 1 සහ d) ඇති සමීකරණ දෙකක් තිබේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ගැටළුව රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම දක්වා අඩු කර ඇති බවයි.

ඔබ එක් එක් සමීකරණය තුළ 1 ප්‍රකාශ කළහොත්, පසුව ලැබෙන ප්‍රකාශන සංසන්දනය කරන්නේ නම්, නිශ්චිත පද්ධතිය විසඳීමට පහසුම වේ. පළමු සමීකරණය: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; දෙවන සමීකරණය: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. මෙම ප්‍රකාශන සමාන කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, වෙනස d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (දශම ස්ථාන 3 ක් පමණක් ලබා දී ඇත).

d දැන ගැනීමෙන්, ඔබට 1 සඳහා ඉහත ප්‍රකාශන 2න් ඕනෑම එකක් භාවිතා කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, පළමුව: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

ප්රතිඵලය පිළිබඳ සැකයන් තිබේ නම්, ඔබට එය පරීක්ෂා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, ප්රගතියේ 43 වන සාමාජිකයා තීරණය කරන්න, එය කොන්දේසියේ දක්වා ඇත. අපට ලැබෙන්නේ: 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. කුඩා දෝෂයක් සිදුවන්නේ ගණනය කිරීම් වලදී දහස් ගණනකට වටකුරු කිරීම භාවිතා කර ඇති බැවිනි.

උදාහරණ #5: එකතුව

දැන් අපි අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​එකතුව සඳහා විසඳුම් සහිත උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

පහත පෝරමයේ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රගතියක් ලබා දෙමු: 1, 2, 3, 4, ...,. මෙම සංඛ්‍යා 100 ක එකතුව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

පරිගණක තාක්‍ෂණයේ දියුණුවට ස්තූතිවන්ත වන්නට, මෙම ගැටළුව විසඳා ගත හැකිය, එනම්, පුද්ගලයෙකු Enter යතුර එබූ වහාම පරිගණකය විසින් කරනු ලබන සියලුම සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙලින් එකතු කරන්න. කෙසේ වෙතත්, ඉදිරිපත් කරන ලද සංඛ්‍යා මාලාව වීජීය ප්‍රගතියක් බව ඔබ අවධානය යොමු කළහොත් ගැටලුව මානසිකව විසඳා ගත හැකි අතර එහි වෙනස 1 වේ. එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

18 වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී සුප්‍රසිද්ධ ජර්මානු ජාතිකයා තවමත් වයස අවුරුදු 10 දී තත්පර කිහිපයකින් එය ඔහුගේ මනසින් විසඳා ගැනීමට සමත් වූ බැවින් මෙම ගැටළුව "ගවුසියන්" ලෙස හැඳින්වීම කුතුහලයට කරුණකි. පිරිමි ළමයා වීජීය ප්‍රගතියක ​​එකතුව සඳහා සූත්‍රය දැන සිටියේ නැත, නමුත් ඔබ අනුක්‍රමයේ දාරවල පිහිටා ඇති සංඛ්‍යා යුගල එකතු කළහොත්, ඔබට සෑම විටම එකම ප්‍රතිඵලයක් ලැබෙන බව ඔහු දුටුවේය, එනම් 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., සහ මෙම එකතු කිරීම් හරියටම 50 (100/2) වන බැවින් නිවැරදි පිළිතුර ලබා ගැනීමට, 50 න් 101 න් ගුණ කිරීම ප්රමාණවත් වේ.

උදාහරණ #6: n සිට m දක්වා පද එකතුව

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​එකතුවට තවත් සාමාන්‍ය උදාහරණයක් වන්නේ: සංඛ්‍යා මාලාවක් ලබා දී ඇත: 3, 7, 11, 15, ..., ඔබ එහි 8 සිට 14 දක්වා වූ නියමවල එකතුව කුමක්දැයි සොයා ගත යුතුය.

ගැටලුව ක්රම දෙකකින් විසඳනු ලැබේ. ඒවායින් පළමුවැන්න 8 සිට 14 දක්වා නොදන්නා පද සොයා ගැනීම සහ ඒවා අනුපිළිවෙලින් සාරාංශ කිරීම ඇතුළත් වේ. නියමයන් කිහිපයක් ඇති බැවින්, මෙම ක්රමය ප්රමාණවත් තරම් වෙහෙසකාරී නොවේ. එසේ වුවද, මෙම ගැටළුව වඩාත් විශ්වීය වන දෙවන ක්රමය මගින් විසඳීමට යෝජනා කෙරේ.

අදහස නම් m සහ n යන පද අතර වීජීය ප්‍රගමනයක එකතුව සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගැනීමයි, එහිදී n > m යනු නිඛිල වේ. අවස්ථා දෙකම සඳහා, අපි එකතුව සඳහා ප්රකාශන දෙකක් ලියන්නෙමු:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m බැවින්, 2 එකතුවට පළමු එක ඇතුළත් වන බව පැහැදිලිය. අවසාන නිගමනය නම්, අපි මෙම එකතු කිරීම් අතර වෙනස ගෙන එයට m යන පදය එකතු කළහොත් (වෙනස ගැනීමේදී එය S n එකතුවෙන් අඩු කරනු ලැබේ), එවිට අපට ගැටලුවට අවශ්‍ය පිළිතුර ලැබෙනු ඇත. අපට ඇත්තේ: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). මෙම ප්‍රකාශනයට n සහ m සඳහා සූත්‍ර ආදේශ කිරීම අවශ්‍ය වේ. එවිට අපට ලැබෙන්නේ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සූත්‍රය තරමක් අපහසුයි, කෙසේ වෙතත්, S mn එකතුව රඳා පවතින්නේ n, m, a 1 සහ d මත පමණි. අපගේ නඩුවේදී, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. මෙම සංඛ්යා ආදේශ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: S mn = 301.

ඉහත විසඳුම්වලින් දැකිය හැකි පරිදි, සියලු ගැටලු පදනම් වී ඇත්තේ n වැනි පදය සඳහා වන ප්‍රකාශනය සහ පළමු පදවල එකතුව සඳහා වන සූත්‍රය පිළිබඳ දැනුම මත ය. ඔබ මෙම ගැටළු කිසිවක් විසඳීම ආරම්භ කිරීමට පෙර, ඔබ කොන්දේසිය හොඳින් කියවා, ඔබට සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය දේ පැහැදිලිව තේරුම් ගෙන, පසුව පමණක් විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.

තවත් ඉඟියක් නම් සරල බව සඳහා උත්සාහ කිරීමයි, එනම්, ඔබට සංකීර්ණ ගණිතමය ගණනය කිරීම් භාවිතා නොකර ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දිය හැකි නම්, ඔබ එය කළ යුතුය, මන්ද මේ අවස්ථාවේ දී වැරැද්දක් කිරීමේ සම්භාවිතාව අඩුය. උදාහරණයක් ලෙස, විසඳුම් අංක 6 සමඟ අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක උදාහරණයේ, කෙනෙකුට S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m යන සූත්‍රයේ නතර විය හැක, සහ සාමාන්‍ය කාර්යය වෙනම උප කාර්යයන් වලට කඩන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, පළමුව a n සහ m යන පද සොයා ගන්න).

ලබාගත් ප්රතිඵලය පිළිබඳ සැකයන් තිබේ නම්, ලබා දී ඇති සමහර උදාහරණවල සිදු කර ඇති පරිදි එය පරීක්ෂා කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සොයා ගන්නේ කෙසේද, සොයා ගන්නා ලදී. ඔබ එය තේරුම් ගත් පසු, එය එතරම් අපහසු නොවේ.

චිත්‍ර කලාවට හා කවියට මෙන්ම ගණිතයටද එහිම අලංකාරයක් ඇත.

රුසියානු විද්යාඥ, කාර්මික එන්.ඊ. Zhukovsky

ගණිතයේ ප්‍රවේශ පරීක්ෂණ වලදී ඉතා පොදු කාර්යයන් වන්නේ අංක ගණිත ප්‍රගතිය පිළිබඳ සංකල්පයට අදාළ කාර්යයන් වේ. එවැනි ගැටළු සාර්ථකව විසඳීම සඳහා, අංක ගණිතමය ප්රගතියක ​​ගුණාංග හොඳින් දැන ගැනීම සහ ඒවායේ යෙදුමේ යම් නිපුණතා තිබිය යුතුය.

අපි මුලින්ම අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක ප්‍රධාන ගුණාංග සිහිපත් කර වඩාත් වැදගත් සූත්‍ර ඉදිරිපත් කරමු, මෙම සංකල්පය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

අර්ථ දැක්වීම. සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙල, එහි එක් එක් ඊළඟ පදය එකම අංකයකින් පෙර එකට වඩා වෙනස් වේ, අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ. ඒ සමගම, අංකයප්රගති වෙනස ලෙස හැඳින්වේ.

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා, සූත්‍ර වලංගු වේ

, (1)

කොහෙද . සූත්‍රය (1) ගණිත ප්‍රගතියක ​​පොදු පදයේ සූත්‍රය ලෙස හැඳින්වෙන අතර, සූත්‍රය (2) යනු ගණිත ප්‍රගතියක ​​ප්‍රධාන ගුණයයි: ප්‍රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙක්ම එහි අසල්වැසි සාමාජිකයන්ගේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය සමඟ සමපාත වේ.

සලකා බලන ප්‍රගතිය "අංක ගණිතය" ලෙස හඳුන්වන්නේ මෙම ගුණාංගය නිසා බව සලකන්න.

ඉහත (1) සහ (2) සූත්‍ර පහත පරිදි සාරාංශ කර ඇත.

(3)

එකතුව ගණනය කිරීමටපළමුවන අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයන්සූත්රය සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ

(5) කොහෙද සහ .

අපි සූත්‍රය සැලකිල්ලට ගත්තොත් (1), එවිට සූත්රය (5) ඇඟවුම් කරයි

අපි නම් කරනවා නම්

කොහෙද . , පසුව සූත්‍ර (7) සහ (8) යනු අනුරූප (5) සහ (6) සූත්‍රවල සාමාන්‍යකරණයකි.

විශේෂයෙන්ම , (5) සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේ, කුමක්

බොහෝ සිසුන් එතරම් නොදන්නා ඒවා අතර පහත ප්‍රමේයය මගින් සකස් කරන ලද අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​ගුණය වේ.

ප්රමේයය.නම්, එසේ නම්

සාක්ෂි.නම්, එසේ නම්

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

උදාහරණ වශයෙන් , ප්රමේයය භාවිතා කිරීම, එය පෙන්විය හැක

"අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය" යන මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේ සාමාන්‍ය උදාහරණ සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු.

උදාහරණ 1ඉඩ දෙන්න සහ . සොයන්න .

විසඳුමක්.සූත්රය (6) යෙදීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු . සිට සහ , පසුව හෝ .

උදාහරණ 2තුන් ගුණයක් වැඩිපුර ඉඩ දෙන්න, සහ 2 න් බෙදූ විට, ඉතිරිය 8 වේ. නිර්වචනය කරන්න සහ.

විසඳුමක්.සමීකරණ පද්ධතිය උදාහරණයේ තත්වයෙන් පහත දැක්වේ

සිට , , සහ , පසුව සමීකරණ පද්ධතියෙන් (10) අපි ලබා ගනිමු

මෙම සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම වන්නේ සහ .

උදාහරණය 3නම් සහ සොයන්න.

විසඳුමක්.සූත්රය (5) අනුව, අප සතුව හෝ . කෙසේ වෙතත්, දේපල (9) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු .

සිට සහ , පසුව සමානාත්මතාවයෙන් සමීකරණය පහත දැක්වේහෝ .

උදාහරණය 4නම් සොයන්න.

විසඳුමක්.සූත්රය (5) මගින් අපට ඇත

කෙසේ වෙතත්, ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, කෙනෙකුට ලිවිය හැකිය

මෙතැන් සිට සහ සූත්‍රයෙන් (11) අපි ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 5. ලබා දී ඇත: . සොයන්න .

විසඳුමක්.එදින සිට . කෙසේ වෙතත් .

උදාහරණය 6ඉඩ දෙන්න, සහ . සොයන්න .

විසඳුමක්.සූත්රය (9) භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගනිමු. එබැවින්, නම්, එසේ නම් හෝ .

සිට සහ එවිට අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත

එය විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ සහ .

සමීකරණයේ ස්වභාවික මූලයවේ .

උදාහරණ 7නම් සහ සොයන්න.

විසඳුමක්.සූත්‍රය (3) ට අනුව අපට එය ඇති බැවින්, සමීකරණ පද්ධතිය ගැටලුවේ තත්වය අනුව පහත දැක්වේ.

අපි ප්රකාශනය ආදේශ කළහොත්පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට, එවිට අපට ලැබේ හෝ .

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේහා .

අපි අවස්ථා දෙකක් සලකා බලමු.

1. ඉඩ දෙන්න , එහෙනම් . එතැන් සිට සහ .

මෙම අවස්ථාවේදී, සූත්රය (6) අනුව, අපට තිබේ

2. නම්, එසේ නම්, සහ

පිළිතුර: සහ.

උදාහරණ 8එය දන්නා සහ සොයන්න .

විසඳුමක්.සූත්රය (5) සහ උදාහරණයේ තත්ත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලියන්නෙමු සහ .

මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණ පද්ධතියයි

අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය 2 න් ගුණ කළහොත්, පසුව එය දෙවන සමීකරණයට එකතු කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ

සූත්රය (9) අනුව, අපට තිබේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, (12) සිට එය පහත දැක්වේහෝ .

එතැන් සිට සහ .

පිළිතුර: .

උදාහරණ 9නම් සහ සොයන්න.

විසඳුමක්.සිට , සහ කොන්දේසිය අනුව , පසුව හෝ .

(5) සූත්‍රයෙන් එය දනියි, කුමක් . එදින සිට .

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙන්න අපට රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත

මෙතැන් සිට අපට ලැබෙන්නේ සහ . සූත්රය (8) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලියන්නෙමු.

උදාහරණ 10සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුමක්.ලබා දී ඇති සමීකරණයෙන් එය පහත දැක්වේ. අපි හිතමු , , සහ . මේ අවස්ථාවේ දී .

සූත්රය (1) අනුව, අපට ලිවිය හැකිය හෝ .

සමීකරණයට (13) අනන්‍ය සුදුසු මූලයක් ඇති බැවින් .

උදාහරණ 11.ලබා දී ඇති උපරිම අගය සොයන්න සහ .

විසඳුමක්.එතැන් සිට සලකනු ලබන අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය අඩුවෙමින් පවතී. මේ සම්බන්ධයෙන්, ප්‍රකාශනය ප්‍රගතියේ අවම ධනාත්මක සාමාජික සංඛ්‍යාව වන විට උපරිම අගයක් ගනී.

අපි සූත්රය (1) සහ කාරණය භාවිතා කරමු, කුමන සහ . එවිට අපි එය ලබා ගනිමු හෝ .

මන්ද , එවිට හෝ . කෙසේ වෙතත්, මෙම අසමානතාවය තුළවිශාලතම ස්වභාවික සංඛ්යාව, ඒක තමයි .

අගයන්, සහ සූත්‍රයට (6) ආදේශ කරන්නේ නම්, අපට ලැබේ .

පිළිතුර: .

උදාහරණ 12. 6න් බෙදූ විට ඉතිරි 5ක් ඇති සියලුම ඉලක්කම් දෙකේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල එකතුව සොයන්න.

විසඳුමක්.සියලුම අගයන් සහිත ස්වභාවික සංඛ්‍යා සමූහයෙන් දක්වන්න, i.e. . ඊළඟට, අපි අංක 6 න් බෙදූ විට 5 හි ඉතිරියක් ලබා දෙන කට්ටලයේ මූලද්‍රව්‍ය (සංඛ්‍යා) වලින් සමන්විත උප කුලකයක් සාදන්නෙමු.

ස්ථාපනය කිරීමට පහසුය, කුමක් . පැහැදිලිවම, කට්ටලයේ මූලද්රව්ය බවඅංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සාදයි, එහි සහ .

කට්ටලයේ කාර්ඩිනලිටි (මූලද්රව්ය සංඛ්යාව) තීරණය කිරීම සඳහා, අපි උපකල්පනය කරමු . සිට සහ , පසුව සූත්‍රය (1) අඟවන්නේ හෝ . සූත්රය (5) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගනිමු.

ගැටළු විසඳීමේ ඉහත උදාහරණ කිසිසේත්ම පරිපූර්ණ යැයි කිව නොහැක. මෙම ලිපිය ලියා ඇත්තේ යම් මාතෘකාවක් මත සාමාන්ය ගැටළු විසඳීම සඳහා නවීන ක්රම විශ්ලේෂණය කිරීමේ පදනම මතය. අංක ගණිතමය ප්රගතිය සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීම සඳහා ක්රම පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනයක් සඳහා, නිර්දේශිත සාහිත්ය ලැයිස්තුවට යොමු කිරීම යෝග්ය වේ.

1. තාක්ෂණික විශ්ව විද්‍යාල සඳහා අයදුම්කරුවන් සඳහා ගණිතයේ කාර්යයන් එකතු කිරීම / එඩ්. එම්.අයි. ස්කැනවි. - එම්.: ලෝකය සහ අධ්‍යාපනය, 2013. - 608 පි.

2. Suprun V.P. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ගණිතය: පාසල් විෂය මාලාවේ අමතර කොටස්. - එම්.: ලෙනන්ඩ් / යූආර්එස්එස්, 2014. - 216 පි.

3. මෙඩින්ස්කි එම්.එම්. කාර්යයන් සහ අභ්යාසවල මූලික ගණිතය පිළිබඳ සම්පූර්ණ පාඨමාලාවක්. පොත 2: අංක අනුපිළිවෙල සහ ප්‍රගතිය. - එම්.: එඩිටස්, 2015. - 208 පි.

ඔබට ප්‍රශ්න තිබේද?

උපදේශකයෙකුගේ උපකාරය ලබා ගැනීමට - ලියාපදිංචි වන්න.

වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, අනුපිළිවෙල \(2\); \(5\); \(අට\); \(එකොළොස්\); \(14\)... යනු අංක ගණිතමය ප්‍රගතියකි, මන්ද සෑම ඊලඟ මූලද්‍රව්‍යයක්ම පෙර තිබූ එකට වඩා තුනෙන් වෙනස් වේ (තුනක් එකතු කිරීමෙන් පෙර එකෙන් ලබාගත හැක):

මෙම ප්‍රගතියේදී, වෙනස \(d\) ධනාත්මක වේ (\(3\) ට සමාන), එබැවින් සෑම ඊළඟ වාරයක්ම පෙර එකට වඩා වැඩි වේ. එවැනි ප්රගතිය හැඳින්වේ වැඩි වෙනවා.

කෙසේ වෙතත්, \(d\) ද සෘණ අංකයක් විය හැක. උදාහරණ වශයෙන්, අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ \(16\); \(දස\); \(හතර\); \(-2\); \(-8\)… ප්‍රගති වෙනස \(d\) සෘණ හයට සමාන වේ.

තවද මෙම අවස්ථාවේදී, එක් එක් ඊළඟ මූලද්රව්යය පෙර එකට වඩා අඩු වනු ඇත. මෙම ප්රගතිය හැඳින්වේ අඩු වෙමින් පවතී.

අංක ගණිතමය ප්‍රගති අංකනය

ප්‍රගතිය කුඩා ලතින් අකුරකින් දැක්වේ.

ප්‍රගතියක් ඇති කරන සංඛ්‍යා එය ලෙස හැඳින්වේ සාමාජිකයින්(හෝ මූලද්රව්ය).

ඒවා අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය ලෙස එකම අකුරකින් දක්වා ඇත, නමුත් අනුපිළිවෙලින් මූලද්‍රව්‍ය අංකයට සමාන සංඛ්‍යාත්මක දර්ශකයක් ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, අංක ගණිත ප්‍රගමනය \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) මූලද්‍රව්‍ය \(a_1=2\) සමන්විත වේ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) සහ යනාදිය.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ප්‍රගතිය සඳහා \(a_n = \වම\(2; 5; 8; 11; 14...\දකුණ\)\)

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් මත ගැටලු විසඳීම

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඉහත තොරතුරු දැනටමත් ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​(OGE හි ඉදිරිපත් කරන ලද ඒවා ඇතුළුව) ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමට ප්‍රමාණවත් වේ.

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිත ප්‍රගතිය \(b_1=7; d=4\) කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත. සොයන්න \(b_5\).
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(b_5=23\)

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​පළමු පද තුන ලබා දී ඇත: \(62; 49; 36...\) මෙම ප්‍රගතියේ පළමු සෘණ පදයේ අගය සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(-3\)

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක අනුප්‍රාප්තික මූලද්‍රව්‍ය කිහිපයක් ලබා දී ඇත: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) අක්ෂරයෙන් දැක්වෙන මූලද්‍රව්‍යයේ අගය සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(7,5\).

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිත ප්‍රගතිය පහත කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) මෙම ප්‍රගතියේ පළමු පද හයෙහි එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(S_6=9\).

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ දී \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). මෙම ප්‍රගතියේ වෙනස සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(d=7\).

වැදගත් අංක ගණිත ප්‍රගති සූත්‍ර

ඔබට පෙනෙන පරිදි, බොහෝ ගණිතමය ප්‍රගති ගැටළු ප්‍රධාන දෙය තේරුම් ගැනීමෙන් සරලව විසඳිය හැකිය - අංක ගණිත ප්‍රගතියක් යනු සංඛ්‍යා දාමයක් වන අතර, මෙම දාමයේ සෑම ඊළඟ මූලද්‍රව්‍යයක්ම ලබා ගන්නේ පෙර එකට එකම අංකය එකතු කිරීමෙන් (වෙනස ප්රගතිය පිළිබඳ).

කෙසේ වෙතත්, සමහර විට "නළලේ" විසඳීමට ඉතා අපහසු වන අවස්ථා තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු උදාහරණයේදීම, අප සොයා ගත යුත්තේ \(b_5\) පස්වන මූලද්‍රව්‍යය නොව තුන්සිය අසූ හයවන \(b_(386)\) බව සිතන්න. එය කුමක්ද, අපි හතරක් එකතු කිරීමට \ (385 \) වරක්? නැතහොත් අවසාන උදාහරණයේදී, ඔබ පළමු මූලද්‍රව්‍ය හැත්තෑ තුනේ එකතුව සොයා ගත යුතු යැයි සිතන්න. ගණන් කිරීම අවුල් සහගතයි ...

එමනිසා, එවැනි අවස්ථාවලදී, ඔවුන් "නළලේ" විසඳන්නේ නැත, නමුත් අංක ගණිත ප්රගතිය සඳහා ව්යුත්පන්න විශේෂ සූත්ර භාවිතා කරයි. තවද ප්‍රධාන ඒවා වන්නේ ප්‍රගතියේ n වැනි වාරය සඳහා වන සූත්‍රය සහ පළමු පදවල එකතුව \(n\) සඳහා වන සූත්‍රයයි.

\(n\)th සාමාජිකයා සඳහා සූත්‍රය: \(a_n=a_1+(n-1)d\), මෙහි \(a_1\) ප්‍රගතියේ පළමු සාමාජිකයා වේ;
\(n\) - අවශ්ය මූලද්රව්ය සංඛ්යාව;
\(a_n\) යනු \(n\) අංකය සහිත ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙකි.

මෙම සූත්‍රය මඟින් අපට පළමු සහ ප්‍රගති වෙනස පමණක් දැනගෙන අවම වශයෙන් තුන්සිය වන, මිලියන වැනි මූලද්‍රව්‍යය පවා ඉක්මනින් සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.

උදාහරණයක්. අංක ගණිත ප්‍රගතිය කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). සොයන්න \(b_(246)\).
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(b_(246)=1850\).

පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්‍රය වන්නේ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\),

\(a_n\) යනු අවසාන සාරාංශ පදයයි;

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය \(a_n=3.4n-0.6\) කොන්දේසි මගින් දෙනු ලැබේ. මෙම ප්‍රගතියේ පළමු \(25\) නියමවල එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(S_(25)=1090\).

පළමු නියමවල එකතුව \(n\) සඳහා, ඔබට වෙනත් සූත්‍රයක් ලබා ගත හැක: ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) වෙනුවට ඒ සඳහා සූත්‍රය ආදේශ කරන්න \(a_n=a_1+(n-1)d\). අපට ලැබෙන්නේ:

පළමු n නියමවල එකතුව සඳහා සූත්‍රය වන්නේ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\),

\(S_n\) – පළමු මූලද්‍රව්‍යවල අවශ්‍ය එකතුව \(n\);
\(a_1\) යනු සාරාංශ කළ යුතු පළමු පදයයි;
\(d\) - ප්රගති වෙනස;
\(n\) - එකතුවේ ඇති මූලද්‍රව්‍ය ගණන.

උදාහරණයක්. අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු \(33\)-ex නියමවල එකතුව සොයන්න: \(17\); \(15,5\); \(දාහතර\)…
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(S_(33)=-231\).

වඩාත් සංකීර්ණ අංක ගණිතමය ප්‍රගති ගැටළු

දැන් ඔබට ඕනෑම ගණිතමය ප්‍රගති ගැටලුවක් විසඳීමට අවශ්‍ය සියලුම තොරතුරු තිබේ. ඔබට සූත්‍ර යෙදීමට පමණක් නොව, මඳක් සිතන්නට අවශ්‍ය ගැටළු සලකා බලා මාතෘකාව අවසන් කරමු (ගණිතයේදී, මෙය ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය ☺)

උදාහරණය (OGE). ප්‍රගතියේ සියලුම සෘණ පදවල එකතුව සොයන්න: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(S_(65)=-630.5\).

උදාහරණය (OGE). අංක ගණිත ප්‍රගතිය කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇත: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). මූලද්‍රව්‍ය ඇතුළුව \(26\)th සිට \(42\) දක්වා එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්:

පිළිතුර: \(S=1683\).

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා, ඒවායේ අඩු ප්‍රායෝගික ප්‍රයෝජනය නිසා මෙම ලිපියෙන් අප සලකා බැලූ තවත් සූත්‍ර කිහිපයක් තිබේ. කෙසේ වෙතත්, ඔබට ඒවා පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය.

සූත්‍රයේ සාරය කුමක්ද?

මෙම සූත්රය ඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි කිසියම් ඔහුගේ අංකය අනුව" n" .

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ පළමු පදය දැන සිටිය යුතුය a 1සහ ප්රගතියේ වෙනස ඈ, හොඳයි, මෙම පරාමිතීන් නොමැතිව, ඔබට නිශ්චිත ප්රගතියක් ලිවිය නොහැක.

මෙම සූත්‍රය කටපාඩම් කිරීම (හෝ වංචා කිරීම) පමණක් ප්‍රමාණවත් නොවේ. එහි සාරය උකහා ගැනීම සහ විවිධ ගැටළු වලදී සූත්රය යෙදීම අවශ්ය වේ. ඔව්, සහ නියම වේලාවට අමතක නොකරන්න, ඔව් ...) කෙසේද අමතක කරන්න එපා- මම දන්නේ නැහැ. නමුත් මතක තියාගන්නේ කොහොමද කියලාඅවශ්‍ය නම් මම ඔබට ඉඟියක් දෙන්නම්. පාඩම අවසානය දක්වා ප්‍රගුණ කරන අය සඳහා.)

එබැවින්, අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n-th සාමාජිකයාගේ සූත්‍රය සමඟ කටයුතු කරමු.

සාමාන්‍යයෙන් සූත්‍රයක් යනු කුමක්ද - අපි සිතමු.) අංක ගණිත ප්‍රගමනයක් යනු කුමක්ද, සාමාජික සංඛ්‍යාවක්, ප්‍රගති වෙනසක් - කලින් පාඩමේ පැහැදිලිව දක්වා ඇත. කියෙව්වේ නැත්නම් බලන්න. එහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. එය කුමක්දැයි සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත n වන සාමාජිකයා.

සාමාන්යයෙන් ප්රගතිය සංඛ්යා මාලාවක් ලෙස ලිවිය හැකිය:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​පළමු පදය දක්වයි, a 3- තුන්වන සාමාජිකයා a 4- හතරවන, සහ එසේ ය. අපි පස්වන වාරය ගැන උනන්දුවක් දක්වන්නේ නම්, අපි සමඟ වැඩ කරන බව කියමු a 5, එකසිය විස්ස නම් - සිට 120 ක්.

පොදුවේ නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේද කිසියම්අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​සාමාජිකයෙක්, එස් කිසියම්අංකය? හරිම සරලයි! මෙවැනි:

a n

ඒක තමයි ඒක අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n-th සාමාජිකයා. n අකුර යටතේ සියලුම සාමාජිකයින්ගේ සංඛ්‍යා එකවර සඟවා ඇත: 1, 2, 3, 4, සහ යනාදිය.

එවැනි වාර්තාවක් අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද? නිකමට හිතන්න, අංකයක් වෙනුවට, ඔවුන් ලිපියක් ලිව්වා ...

මෙම අංකනය අපට අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා ප්‍රබල මෙවලමක් ලබා දෙයි. අංකනය භාවිතා කිරීම a n, අපට ඉක්මනින් සොයා ගත හැක කිසියම්සාමාජික කිසියම්අංක ගණිතමය ප්රගතිය. සහ ප්‍රගතියේදී විසඳිය යුතු කාර්යයන් සමූහයක්. ඔබ තවදුරටත් දකිනු ඇත.

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n වැනි සාමාජිකයාගේ සූත්‍රයේ:

a 1- අංක ගණිත ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයා;

n- සාමාජික අංකය.

සූත්‍රය ඕනෑම ප්‍රගතියක ​​ප්‍රධාන පරාමිතීන් සම්බන්ධ කරයි: a n; a 1; ඈහා n. මෙම පරාමිතීන් වටා, සියලු ප්රහේලිකා ප්රගතියෙහි භ්රමණය වේ.

නිශ්චිත ප්‍රගතියක් ලිවීමට nth term සූත්‍රය ද භාවිතා කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, ගැටලුවේ දී ප්‍රගතිය කොන්දේසිය මගින් ලබා දී ඇති බව පැවසිය හැකිය:

a n = 5 + (n-1) 2.

එවැනි ගැටළුවක් පවා ව්යාකූල විය හැක ... මාලාවක් නැත, වෙනසක් නැත ... නමුත්, සූත්රය සමඟ කොන්දේසිය සංසන්දනය කිරීම, මෙම ප්රගතිය තුළ බව වටහා ගැනීම පහසුය. a 1 \u003d 5, සහ d \u003d 2.

එය ඊටත් වඩා කෝපයක් විය හැකිය!) අපි එකම කොන්දේසිය ගතහොත්: a n = 5 + (n-1) 2,ඔව්, වරහන් විවෘත කර සමාන ඒවා දෙන්නද? අපට නව සූත්‍රයක් ලැබේ:

an = 3 + 2n.

එය සාමාන්ය පමණක් නොව, නිශ්චිත ප්රගතියක් සඳහා. මෙතන තමයි අවුල තියෙන්නේ. සමහර අය සිතන්නේ පළමු වාරය තුනක් බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම පළමු සාමාජිකයා පහක් වුවද ... ටිකක් අඩු අපි එවැනි නවීකරණය කරන ලද සූත්‍රයක් සමඟ වැඩ කරන්නෙමු.

ප්‍රගතිය සඳහා වන කාර්යයන් වලදී, තවත් අංකනයක් ඇත - a n+1. මෙය, ඔබ අනුමාන කළ පරිදි, ප්‍රගතියේ "n සහ පළමු" පදයයි. එහි තේරුම සරල හා හානිකර නොවේ.) මෙය ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙකි, එහි සංඛ්‍යාව n සංඛ්‍යාවෙන් එකකට වඩා වැඩිය. උදාහරණයක් ලෙස, යම් ගැටළුවක් නම්, අපි ඒ සඳහා ගනිමු a nපස්වන වාරය, පසුව a n+1හයවන සාමාජිකයා වනු ඇත. ආදිය.

බොහෝ විට තනතුර a n+1පුනරාවර්තන සූත්රවල සිදු වේ. මෙම භයානක වචනයට බිය නොවන්න!) මෙය අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​යෙදුමක් ප්‍රකාශ කිරීමේ ක්‍රමයක් පමණි. පෙර එක හරහා.පුනරාවර්තන සූත්‍රය භාවිතා කරමින් මෙම ආකෘතියෙන් අපට අංක ගණිත ප්‍රගතියක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

හතරවන - තුන්වන හරහා, පස්වන - සිව්වන හරහා, සහ එසේ ය. වහාම ගණන් කරන්නේ කෙසේද, විසිවන වාරය කියන්න, a 20? නමුත් ක්‍රමයක් නැත!) 19 වැනි වාරය නොදන්නා අතර 20 වැනි වාරය ගණන් කළ නොහැක. පුනරාවර්තන සූත්‍රය සහ n වැනි පදයේ සූත්‍රය අතර මූලික වෙනස මෙයයි. පුනරාවර්තන ක්‍රියා කරන්නේ හරහා පමණි කලින්පදය, සහ nth පදයේ සූත්රය - හරහා පළමුසහ ඉඩ දෙයි කෙලින්මඕනෑම සාමාජිකයෙකු එහි අංකයෙන් සොයා ගන්න. සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා මාලාවම අනුපිළිවෙලින් ගණන් නොගැනීම.

අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකදී, ප්‍රත්‍යාවර්තී සූත්‍රයක් පහසුවෙන් සාමාන්‍ය එකක් බවට පත් කළ හැක. අඛණ්ඩ පද යුගලයක් ගණන් කරන්න, වෙනස ගණනය කරන්න d,අවශ්ය නම්, පළමු වාරය සොයා ගන්න a 1, සුපුරුදු ආකාරයෙන් සූත්රය ලියන්න, එය සමඟ වැඩ කරන්න. GIA හි, එවැනි කාර්යයන් බොහෝ විට දක්නට ලැබේ.

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n-th සාමාජිකයාගේ සූත්‍රය යෙදීම.

පළමුව, සූත්‍රයේ සෘජු යෙදුම දෙස බලමු. පෙර පාඩම අවසානයේ ගැටලුවක් විය:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලබා දී ඇත (a n). 1 =3 සහ d=1/6 නම් 121 සොයන්න.

මෙම ගැටළුව කිසිදු සූත්‍රයකින් තොරව සරලව අංක ගණිත ප්‍රගතියේ අර්ථය මත පදනම්ව විසඳා ගත හැක. එකතු කරන්න, ඔව් එකතු කරන්න ... පැයක් හෝ දෙකක්.)

සහ සූත්රය අනුව, විසඳුම විනාඩියකට වඩා අඩු කාලයක් ගතවනු ඇත. ඔබට එය කාලය ගත කළ හැකිය.) අපි තීරණය කරමු.

කොන්දේසි සූත්රය භාවිතා කිරීම සඳහා සියලු දත්ත සපයයි: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.එය කුමක්දැයි සොයා බැලිය යුතුය n.කිසිම ප්රශ්නයක් නැ! අපි හොයාගන්න ඕන a 121. මෙන්න අපි ලියන්නේ:

අවධානය යොමු කරන්න! දර්ශකයක් වෙනුවට nනිශ්චිත අංකයක් දර්ශනය විය: 121. එය තරමක් තාර්කික ය.) අපි අංක ගණිත ප්‍රගතියේ සාමාජිකයා ගැන උනන්දු වෙමු අංක එකසිය විසි එක.මෙය අපගේ වනු ඇත n.එහි තේරුම මෙයයි n= 121 අපි තවදුරටත් සූත්‍රය තුළට, වරහන් තුළ ආදේශ කරන්නෙමු. සූත්‍රයේ ඇති සියලුම සංඛ්‍යා ආදේශ කර ගණනය කරන්න:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

ඒකේ තියෙන්නේ එච්චරයි. ඉක්මනින්ම කෙනෙකුට පන්සිය දහවන සාමාජිකයා සහ දහස් තුන්වන සාමාජිකයා සොයා ගත හැකි විය. අපි ඒ වෙනුවට දැම්මා nලිපියේ දර්ශකයේ අපේක්ෂිත අංකය " ඒ"සහ වරහන් තුළ, සහ අපි සලකා බලමු.

මම ඔබට සාරය මතක් කර දෙන්නම්: මෙම සූත්රය ඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි කිසියම්අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​පදය ඔහුගේ අංකය අනුව" n" .

ප්‍රශ්නය බුද්ධිමත්ව විසඳා ගනිමු. අපට පහත ගැටලුව ඇති බව කියමු:

17 =-2 නම් අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු පදය (a n) සොයන්න; d=-0.5.

ඔබට කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් ඇත්නම්, මම පළමු පියවර යෝජනා කරමි. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රය ලියන්න!ඔව් ඔව්. අතින් ලියන්න, ඔබේ සටහන් පොතේ:

දැන්, සූත්‍රයේ අකුරු දෙස බලන විට, අප සතුව ඇති දත්ත සහ නැති වී ඇති දේ අපට වැටහෙනවාද? පවතින d=-0.5,දහහත්වන සාමාජිකයෙක් ඉන්නවා ... හැම දෙයක්ම? ඔබ සිතන්නේ එපමණයි, එවිට ඔබට ගැටලුව විසඳිය නොහැක, ඔව් ...

අපිටත් අංකයක් තියෙනවා n! තත්ත්වය තුළ a 17 =-2සැඟවී ඇත විකල්ප දෙකක්.මෙය දහහත්වන සාමාජිකයාගේ (-2) අගය සහ එහි අංකය (17) යන දෙකම වේ. එම. n=17.මෙම "පොඩි දෙය" බොහෝ විට හිස පසුකර යන අතර, එය නොමැතිව, ("කුඩා දෙය" නොමැතිව, හිස නොවේ!) ගැටළුව විසඳිය නොහැක. නමුත් ... සහ හිසක් නොමැතිව.)

දැන් අපට අපගේ දත්ත මෝඩ ලෙස සූත්‍රයට ආදේශ කළ හැකිය:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

අනේ ඔව්, a 17අපි දන්නවා ඒක -2 කියලා. හරි, අපි ඒක දාන්නම්:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

සාරය වශයෙන්, එය සියල්ලම වේ. එය සූත්‍රයෙන් අංක ගණිත ප්‍රගතියේ පළමු පදය ප්‍රකාශ කිරීමට සහ ගණනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත. ඔබට පිළිතුර ලැබේ: a 1 = 6.

එවැනි තාක්ෂණයක් - සූත්‍රයක් ලිවීම සහ දන්නා දත්ත ආදේශ කිරීම - සරල කාර්යයන් සඳහා බෙහෙවින් උපකාරී වේ. හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට සූත්‍රයකින් විචල්‍යයක් ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි විය යුතුය, නමුත් කුමක් කළ යුතුද!? මෙම නිපුණතාවය නොමැතිව, ගණිතය කිසිසේත් ඉගෙන ගත නොහැක ...

තවත් ජනප්රිය ගැටළුවක්:

a 1 =2 නම් අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ වෙනස සොයන්න (a n); a 15 =12.

අපි මොනවද කරන්නේ? ඔබ පුදුමයට පත් වනු ඇත, අපි සූත්රය ලියන්නෙමු!)

අප දන්නා දේ සලකා බලන්න: a 1 =2; a 15 =12; සහ (විශේෂ උද්දීපනය!) n=15. සූත්‍රයේ ආදේශ කිරීමට නිදහස් වන්න:

12=2 + (15-1)d

අපි අංක ගණිතය කරමු.)

12=2 + 14d

ඈ=10/14 = 5/7

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.

ඉතින්, කාර්යයන් a n, a 1හා ඈතීරණය කළා. අංකය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමට ඉතිරිව ඇත:

අංක 99 යනු අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​(a n) සාමාජිකයෙකි, මෙහි a 1 =12; d=3. මෙම සාමාජිකයාගේ අංකය සොයන්න.

අපි දන්නා ප්‍රමාණ n වැනි පදයේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:

a n = 12 + (n-1) 3

මුලින්ම බැලූ බැල්මට, මෙහි නොදන්නා ප්රමාණ දෙකක් තිබේ: a n සහ n.නමුත් a nඅංකය සමඟ ප්‍රගතියේ සමහර සාමාජිකයෙකි n... සහ අපි දන්නා ප්‍රගතියේ මෙම සාමාජිකයා! එය 99. අපි ඔහුගේ අංකය දන්නේ නැහැ. n,එබැවින් මෙම අංකය ද සොයාගත යුතුය. ප්‍රගති පදය 99 සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න:

99 = 12 + (n-1) 3

අපි සූත්රයෙන් ප්රකාශ කරමු n, අපි හිතනවා. අපට පිළිතුර ලැබේ: n=30.

දැන් එකම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළුවක්, නමුත් වඩා නිර්මාණශීලී):

අංක 117 අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​(a n) සාමාජිකයෙක් වේ දැයි තීරණය කරන්න:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ආයෙත් සූත්‍රය ලියමු. මොකක්ද, විකල්ප නැද්ද? හ්ම්... අපිට ඇස් අවශ්‍ය ඇයි?) අපි ප්‍රගතියේ පළමු සාමාජිකයා දකිනවාද? අපි දකිනවා. මෙය -3.6. ඔබට ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය: a 1 \u003d -3.6.වෙනස ඈමාලාවෙන් තීරණය කළ හැකිද? අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​වෙනස කුමක්දැයි ඔබ දන්නේ නම් එය පහසු ය:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ඔව්, අපි සරලම දේ කළා. එය නොදන්නා අංකයක් සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත nසහ නොතේරෙන අංකයක් 117. පෙර ගැටලුවේදී, අවම වශයෙන් එය ලබා දුන් ප්රගතියේ පදය බව දැන සිටියේය. නමුත් මෙන්න අපි ඒකවත් දන්නේ නැහැ ... කොහොම වෙන්නද!? හොඳයි, කෙසේ විය යුතුද, කෙසේද ... ඔබේ නිර්මාණාත්මක හැකියාවන් සක්රිය කරන්න!)

අප උපකල්පනය කරන්න 117 යනු අපගේ ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙකු බව ය. නොදන්නා අංකයක් සමඟ n. තවද, පෙර ගැටලුවේ මෙන්, අපි මෙම අංකය සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. එම. අපි සූත්‍රය ලියන්නෙමු (ඔව්-ඔව්!)) සහ අපගේ අංක ආදේශ කරන්න:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

නැවතත් අපි සූත්රයෙන් ප්රකාශ කරමුn, අපි ගණන් කර ලබා ගනිමු:

අපොයි! අංකය හැරී ගියේය භාගික!එකසිය එකහමාරක්. සහ ප්‍රගතියෙහි භාගික සංඛ්‍යා වෙන්න බෑ.අපි කුමන නිගමනයකට එළඹෙන්නේද? ඔව්! අංක 117 නොවේඅපගේ ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙක්. එය 101 වන සහ 102 වන සාමාජිකයින් අතර කොහේ හරි ය. අංකය ස්වභාවික බවට හැරුනේ නම්, i.e. ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාව, එවිට සංඛ්‍යාව සොයාගත් අංකය සමඟ ප්‍රගතියේ සාමාජිකයෙකු වනු ඇත. අපගේ නඩුවේදී, ගැටලුවට පිළිතුර වනුයේ: නැත.

GIA හි සැබෑ අනුවාදයක් මත පදනම් වූ කාර්යය:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය කොන්දේසිය මගින් දෙනු ලැබේ:

a n \u003d -4 + 6.8n

ප්‍රගතියේ පළමු සහ දහවන පද සොයන්න.

මෙහි ප්රගතිය අසාමාන්ය ආකාරයකින් සකසා ඇත. යම් ආකාරයක සූත්‍රයක් ... එය සිදු වේ.) කෙසේ වෙතත්, මෙම සූත්‍රය (මා ඉහත ලියා ඇති පරිදි) - අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n-th සාමාජිකයාගේ සූත්‍රය ද වේ!ඇයත් ඉඩ දෙනවා ප්‍රගතියේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකු එහි අංකයෙන් සොයා ගන්න.

අපි පළමු සාමාජිකයා සොයමින් සිටිමු. හිතන කෙනා. පළමු පදය සෘණ හතර වන අතර එය මාරාන්තික ලෙස වරදවා වටහාගෙන ඇත!) ගැටලුවේ සූත්‍රය වෙනස් කර ඇති බැවිනි. එහි අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක ​​පළමු පදය සැඟවී ඇත.කිසිවක් නැත, අපි එය දැන් සොයා ගනිමු.)

පෙර කාර්යයන් වලදී මෙන්, අපි ආදේශ කරමු n=1මෙම සූත්‍රයට:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

මෙතන! පළමු වාරය 2.8, -4 නොවේ!

ඒ හා සමානව, අපි දසවන වාරය සොයන්නෙමු:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

ඒකේ තියෙන්නේ එච්චරයි.

දැන්, මෙම රේඛා දක්වා කියවා ඇති අයට, පොරොන්දු වූ ප්‍රසාද දීමනාව.)

GIA හෝ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ දුෂ්කර සටන් තත්වයකදී, ඔබට අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n-th සාමාජිකයාගේ ප්‍රයෝජනවත් සූත්‍රය අමතක වී ඇතැයි සිතමු. යමක් මතකයට එයි, නමුත් කෙසේ හෝ අවිනිශ්චිතව ... දැයි nඑහි, හෝ n+1, හෝ n-1...කෙසේ විය යුතුද!?

සන්සුන්! මෙම සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමට පහසුය. ඉතා දැඩි නොවේ, නමුත් විශ්වාසය සහ නිවැරදි තීරණය සඳහා නියත වශයෙන්ම ප්රමාණවත්ය!) නිගමනය සඳහා, අංක ගණිත ප්රගතියේ මූලික අර්ථය මතක තබා ගැනීමට සහ මිනිත්තු කිහිපයක් ගත කිරීමට ප්රමාණවත් වේ. ඔබට චිත්රයක් ඇඳීමට අවශ්යයි. පැහැදිලිකම සඳහා.

අපි සංඛ්යාත්මක අක්ෂයක් අඳින්න සහ එය මත පළමු එක සලකුණු කරන්න. දෙවන, තෙවන, ආදිය. සාමාජිකයින්. සහ වෙනස සටහන් කරන්න ඈසාමාජිකයන් අතර. මෙවැනි:

අපි පින්තූරය දෙස බලා සිතන්නෙමු: දෙවන පදය සමාන වන්නේ කුමක් ද? දෙවැනි එක ඈ:

ඒ 2 =a 1 + 1 ඈ

තුන්වන වාරය කුමක්ද? තෙවනපදය පළමු වාර ප්ලස් සමාන වේ දෙක ඈ.

ඒ 3 =a 1 + 2 ඈ

ඔබට එය ලැබෙනවාද? මම නිකරුනේ සමහර වචන තද අකුරින් දාන්නේ නැහැ. හොඳයි, තවත් එක් පියවරක්.)

හතරවන වාරය කුමක්ද? හතරවනපදය පළමු වාර ප්ලස් සමාන වේ තුන් ඈ.

ඒ 4 =a 1 + 3 ඈ

හිඩැස් ගණන බව අවබෝධ කර ගැනීමට කාලයයි, i.e. ඈ, සැමවිටම ඔබ සොයන සාමාජික සංඛ්‍යාවට වඩා එකක් අඩුවෙන් n. එනම්, සංඛ්යාව දක්වා n, හිඩැස් ගණනවනු ඇත n-1.එබැවින්, සූත්රය වනු ඇත (විකල්ප නැත!):

පොදුවේ ගත් කල, ගණිතයේ බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා දෘශ්‍ය පින්තූර ඉතා උපකාරී වේ. පින්තූර නොසලකා හරින්න එපා. නමුත් පින්තූරයක් ඇඳීම අපහසු නම්, ... සූත්‍රයක් පමණි!) ඊට අමතරව, nth පදයේ සූත්‍රය මඟින් ගණිතයේ සමස්ත බලවත් අවි ගබඩාව විසඳුමට සම්බන්ධ කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි - සමීකරණ, අසමානතා, පද්ධති ආදිය. පින්තූරයක් සමීකරණයකට දාන්න බෑ...

ස්වාධීන තීරණයක් සඳහා කාර්යයන්.

උණුසුම් කිරීම සඳහා:

1. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 සොයා ගන්න.

ඉඟිය: පින්තූරයට අනුව, ගැටළුව තත්පර 20 කින් විසඳනු ලැබේ ... සූත්රය අනුව, එය වඩාත් අපහසු වේ. නමුත් සූත්‍රය ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා එය වඩාත් ප්‍රයෝජනවත් වේ.) 555 වගන්තියේ, මෙම ගැටළුව පින්තූරයෙන් සහ සූත්‍රයෙන් විසඳනු ලැබේ. වෙනස දැනෙන්න!)

තවද මෙය තවදුරටත් උණුසුම් කිරීමක් නොවේ.)

2. අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ දී (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3 සොයන්න.

මොකක්ද, චිත්රයක් ඇඳීමට ඇති අකමැත්ත?) තවමත්! එය සූත්‍රයේ වඩා හොඳයි, ඔව් ...

3. අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය කොන්දේසිය මගින් දෙනු ලැබේ:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. මෙම ප්‍රගතියේ එකසිය විසිපස්වන වාරය සොයන්න.

මෙම කාර්යයේදී, ප්රගතිය පුනරාවර්තන ආකාරයෙන් ලබා දෙනු ලැබේ. නමුත් එකසිය විසිපස්වන වාරය දක්වා ගණන් කිරීම... හැමෝටම එහෙම හපන්කමක් කරන්න බෑ.) හැබැයි nth term කියන සූත්‍රය හැමෝගෙම බලය ඇතුලේ!

4. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලබා දී ඇත (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

ප්‍රගතියේ කුඩාම ධන පද ගණන සොයන්න.

5. කාර්යය 4 හි කොන්දේසිය අනුව, ප්‍රගතියේ කුඩාම ධනාත්මක සහ විශාලතම සෘණ සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සොයා ගන්න.

6. වැඩිවන අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පස්වන සහ දොළොස්වන පදවල ගුණිතය -2.5 වන අතර තුන්වන සහ එකොළොස්වන පදවල එකතුව ශුන්‍ය වේ. 14 සොයා ගන්න.

පහසුම කාර්යය නොවේ, ඔව් ...) මෙහි "ඇඟිලි මත" ක්රමය ක්රියා නොකරනු ඇත. සූත්‍ර ලියන්නත් සමීකරණ විසඳන්නත් වෙනවා.

පිළිතුරු (අවුල් සහගතව):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

සිදුවීද? එය හොඳයි!)

සෑම දෙයක්ම සාර්ථක නොවේද? එය සිදු වේ. මාර්ගය වන විට, අවසාන කාර්යයේ එක් සියුම් කරුණක් ඇත. ගැටලුව කියවීමේදී අවධානය යොමු කිරීම අවශ්ය වනු ඇත. සහ තර්කනය.

මෙම සියලු ගැටලු සඳහා විසඳුම 555 වන වගන්තියේ විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. තවද සිව්වන සඳහා මනඃකල්පිත අංගය, සහ හයවන සඳහා සියුම් මොහොත සහ n වැනි පදයේ සූත්‍රය සඳහා ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය ප්‍රවේශයන් - සියල්ල පින්තාරු කර ඇත. මම නිර්දේශ කරන්නේ.

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. ඉගෙනීම - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

පාඩම් වර්ගය:නව ද්රව්ය ඉගෙනීම.

පාඩම් අරමුණු:

• අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය භාවිතයෙන් විසඳන ලද කාර්යයන් පිළිබඳ සිසුන්ගේ අදහස් පුළුල් කිරීම සහ ගැඹුරු කිරීම; අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සඳහා සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී සිසුන්ගේ සෙවුම් ක්‍රියාකාරකම් සංවිධානය කිරීම;
• නව දැනුම ස්වාධීනව ලබා ගැනීම සඳහා කුසලතා වර්ධනය කිරීම, කාර්යය සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා දැනටමත් අත්පත් කරගත් දැනුම භාවිතා කිරීම;
• ලබාගත් කරුණු සාමාන්‍යකරණය කිරීමට ආශාව සහ අවශ්‍යතාවය වර්ධනය කිරීම, ස්වාධීනත්වය වර්ධනය කිරීම.

කාර්යයන්:

• "අංක ගණිත ප්‍රගතිය" යන මාතෘකාව පිළිබඳ පවත්නා දැනුම සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමානුකූල කිරීම;
• අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ගණනය කිරීම සඳහා සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කරන්න;
• විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී ලබාගත් සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි උගන්වන්න;
• සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක වටිනාකම සොයා ගැනීමේ ක්‍රියා පටිපාටියට සිසුන්ගේ අවධානය යොමු කරන්න.

උපකරණ:

• කණ්ඩායම් සහ යුගල වශයෙන් වැඩ සඳහා කාර්යයන් සහිත කාඩ්පත්;
• ඇගයීම් පත්රය;
• ඉදිරිපත් කිරීම"අංක ගණිතමය ප්රගතිය".

I. මූලික දැනුම සැබෑ කර ගැනීම.

1. යුගල වශයෙන් ස්වාධීන වැඩ.

1 වන විකල්පය:

අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් නිර්වචනය කරන්න. අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් නිර්වචනය කරන පුනරාවර්තන සූත්‍රයක් ලියන්න. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකට උදාහරණයක් දී එහි වෙනස දක්වන්න.

2 වන විකල්පය:

අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රය ලියන්න. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​100 වැනි පදය සොයන්න ( a n}: 2, 5, 8 …
මේ වෙලාවේ බෝඩ් එකේ පිටිපස්සේ ඉන්න ළමයි දෙන්නෙක් එකම ප්‍රශ්නවලට උත්තර ලෑස්ති ​​කරනවා.
සිසුන් සහකරුගේ කාර්යය මණ්ඩලය සමඟ සංසන්දනය කිරීමෙන් ඇගයීමට ලක් කරයි. (පිළිතුරු සහිත පත්‍රිකා භාර දෙනු ලැබේ).

2. ක්රීඩා මොහොත.

අභ්‍යාස 1.

ගුරු.මම යම් ගණිතමය ප්‍රගතියක් පිළිසිඳ ගත්තෙමි. මගෙන් ප්‍රශ්න දෙකක් පමණක් අසන්න එවිට පිළිතුරු ලබා දීමෙන් පසු ඔබට මෙම ප්‍රගතියේ 7 වන සාමාජිකයා ඉක්මනින් නම් කළ හැක. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

සිසුන්ගෙන් ප්රශ්න.

1. ප්‍රගතියේ හයවන වාරය කුමක්ද සහ වෙනස කුමක්ද?
2. ප්රගතියේ අටවන වාරය කුමක්ද සහ වෙනස කුමක්ද?

තවත් ප්‍රශ්න නොමැති නම්, ගුරුවරයාට ඒවා උත්තේජනය කළ හැකිය - d (වෙනස) මත “තහනම් කිරීමක්”, එනම් වෙනස කුමක්දැයි විමසීමට අවසර නැත. ඔබට ප්‍රශ්න ඇසිය හැකිය: ප්‍රගතියේ 6 වන වාරය කුමක්ද සහ ප්‍රගතියේ 8 වන වාරය කුමක්ද?

කාර්යය 2.

පුවරුවේ අංක 20 ලියා ඇත: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ගුරුවරයා කළු ලෑල්ලට පිටුපසින් සිටගෙන සිටියි. සිසුන් අංකයේ අංකය පවසන අතර, ගුරුවරයා වහාම එම අංකයට කතා කරයි. මට එය කළ හැකි ආකාරය පැහැදිලි කරන්න?

ගුරුවරයාට n වැනි වාරයේ සූත්‍රය මතකයි a n \u003d 3n - 2සහ, n හි දී ඇති අගයන් ආදේශ කිරීම, අනුරූප අගයන් සොයා ගනී ඒ එන් .

II. අධ්යාපනික කාර්යයේ ප්රකාශය.

ඊජිප්තු පැපිරස් වලින් සොයාගත් ක්‍රිස්තු පූර්ව 2 වැනි සහස්‍රයේ පැරණි ගැටලුවක් විසඳීමට මම යෝජනා කරමි.

කාර්යයක්:"ඔබට පැවසීමට ඉඩ දෙන්න: පුද්ගලයන් 10 දෙනෙකු අතර බාර්ලි මිටි 10 ක් බෙදන්න, එක් එක් පුද්ගලයා සහ ඔහුගේ අසල්වැසියා අතර වෙනස මිනුමෙන් 1/8 කි."

• මෙම ගැටලුව අංක ගණිතමය ප්‍රගතිය යන මාතෘකාවට සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද? (එක් එක් ඊළඟ පුද්ගලයාට මිනුමෙන් 1/8 ක් වැඩිපුර ලැබේ, එබැවින් වෙනස d=1/8, පුද්ගලයන් 10, එසේ n=10.)
• ඔබ සිතන්නේ අංක 10 යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? (ප්‍රගතියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගේ එකතුව.)
• ගැටලුවේ තත්වය අනුව බාර්ලි බෙදීම පහසු සහ සරල කිරීමට ඔබ දැනගත යුතු තවත් මොනවාද? (ප්‍රගතියේ පළමු වාරය.)

පාඩමේ අරමුණ- ඒවායේ අංකය, පළමු පදය සහ වෙනස මත ප්‍රගතියේ නියමයන්ගේ එකතුවේ යැපීම ලබා ගැනීම සහ පුරාණ කාලයේ ගැටලුව නිවැරදිව විසඳා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීම.

සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමට පෙර, පුරාණ ඊජිප්තුවරුන් ගැටලුව විසඳූ ආකාරය බලමු.

තවද ඔවුන් එය විසඳුවේ මෙසේය.

1) පියවර 10: 10 = 1 මිනුම - සාමාන්ය කොටස;
2) 1 මිනුමක් ∙ = 2 මිනුම් - දෙගුණයක් සාමාන්යයබෙදාගන්න.
දෙගුණ කළා සාමාන්යයකොටස යනු 5 වන සහ 6 වන පුද්ගලයාගේ කොටස්වල එකතුවයි.
3) මිනුම් 2 ක් - 1/8 මිනුම = 1 7/8 මිනුම් - පස්වන පුද්ගලයාගේ කොටස මෙන් දෙගුණයක්.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - පස්වන කොටස; සහ එසේ මත, ඔබට එක් එක් පෙර සහ පසු පුද්ගලයාගේ කොටස සොයාගත හැකිය.

අපි අනුපිළිවෙල ලබා ගනිමු:

III. කාර්යයේ විසඳුම.

1. කණ්ඩායම් වශයෙන් වැඩ කරන්න

1 වන කණ්ඩායම:අඛණ්ඩ ස්වාභාවික සංඛ්‍යා 20 ක එකතුව සොයන්න: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

සාමාන්යයෙන්

II කණ්ඩායම: 1 සිට 100 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

නිගමනය:

III කණ්ඩායම: 1 සිට 21 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න.

විසඳුම: 1+21=2+20=3+19=4+18…

නිගමනය:

IV කණ්ඩායම: 1 සිට 101 දක්වා ස්වභාවික සංඛ්යා එකතුව සොයන්න.

නිගමනය:

සලකා බැලූ ගැටළු විසඳීමේ මෙම ක්රමය "Gauss ක්රමය" ලෙස හැඳින්වේ.

2. සෑම කණ්ඩායමක්ම පුවරුවේ ගැටලුවට විසඳුම ඉදිරිපත් කරයි.

3. අත්තනෝමතික අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් සඳහා යෝජිත විසඳුම් සාමාන්‍යකරණය කිරීම:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

අපි මේ එකතුව සොයා ගන්නේ ඒ හා සමානව තර්ක කිරීමෙන්:

4. අපි කාර්යය විසඳා තිබේද?(ඔව්.)

IV. ගැටළු විසඳීමේදී ලබාගත් සූත්‍රවල ප්‍රාථමික අවබෝධය සහ යෙදීම.

1. පැරණි ගැටලුවක විසඳුම සූත්‍රය මගින් පරීක්ෂා කිරීම.

2. විවිධ ගැටළු විසඳීමේදී සූත්රය යෙදීම.

3. ගැටළු විසඳීමේදී සූත්රය යෙදීමේ හැකියාව ගොඩනැගීම සඳහා අභ්යාස.

A) අංක 613

ලබා දී ඇත :( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

සොයන්න: එස් 1500

විසඳුමක්: , සහ 1 = 1, සහ 1500 = 1500,

B) ලබා දී ඇත: ( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;
(සහ n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

සොයන්න: n
විසඳුමක්:

V. අන්‍යෝන්‍ය සත්‍යාපනය සමඟ ස්වාධීන වැඩ.

ඩෙනිස් කුරියර් වැඩට ගියා. පළමු මාසයේ ඔහුගේ වැටුප රුබල් 200 ක් වූ අතර, ඊළඟ සෑම මාසයකම එය රුබල් 30 කින් වැඩි විය. ඔහු වසරකට කොපමණ මුදලක් උපයා ගත්තාද?

ලබා දී ඇත :( සහ n) -අංක ගණිතමය ප්රගතිය;
a 1 = 200, d=30, n=12
සොයන්න: S 12
විසඳුමක්:

පිළිතුර: ඩෙනිස්ට වසර සඳහා රුබල් 4380 ක් ලැබුණි.

VI ගෙදර වැඩ උපදෙස්.

1. පි. 4.3 - සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්න ඉගෙන ගන්න.
2. №№ 585, 623 .
3. අංක ගණිත ප්‍රගතියක ​​පළමු n පදවල එකතුව සඳහා සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකි ගැටලුවක් සම්පාදනය කරන්න.

VII. පාඩම සාරාංශ කිරීම.

1. ලකුණු පත්රය

2. වාක්‍ය දිගටම කරගෙන යන්න

• අද මම පන්තියේදී ඉගෙන ගත්තා ...
• උගත් සූත්‍ර...
• මම හිතන්නේ ඒ…

3. ඔබට 1 සිට 500 දක්වා සංඛ්‍යා එකතුව සොයාගත හැකිද? මෙම ගැටලුව විසඳීමට ඔබ භාවිතා කරන ක්‍රමය කුමක්ද?

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.

1. වීජ ගණිතය, 9 ශ්‍රේණිය. අධ්යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත්. එඩ්. ජී.වී. ඩොරොෆීවා.මොස්කව්: බුද්ධත්වය, 2009.