Kada se u srednjoj školi uči algebra (9. razred), jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Aritmetička ili algebarska progresija je takav skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neki stalni iznos. Ova se vrijednost naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cijelu aritmetičku progresiju.

Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva bit će aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., budući da je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati razmatranoj vrsti progresije, budući da razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Neka n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razlika je označena latiničnim slovom d. Tada su sljedeći izrazi istiniti:

1. Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Za određivanje zbroja prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.

Da biste razumjeli sve primjere aritmetičke progresije s rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi ove vrste izgrađeni na njihovoj upotrebi. Također, ne zaboravite da je razlika progresije određena formulom: d = a n - a n-1 .

Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana

Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.

Neka je dan niz 10, 8, 6, 4, ... potrebno je u njemu pronaći pet članova.

Već iz uvjeta zadatka proizlazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definirati na dva načina:

1. Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, mogu se uzeti bilo koja druga dva pojma koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda je d \u003d a 5 - a 4, odakle dobivamo: a 5 \u003d a 4 + d. Zamjenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo morate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u zadnji izraz, dobivamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, oba rješenja vode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi se nizovi nazivaju padajućim jer je svaki naredni član manji od prethodnog.

Primjer #2: razlika u progresiji

Sada malo zakomplicirajmo zadatak, dajmo primjer kako

Poznato je da je u nekima 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7. član.

Upotrijebimo formulu za određivanje nepoznatog člana: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamijenimo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako možete izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Time je prvi dio zadatka riješen.

Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer #3: napredovanje

Zakomplicirajmo stanje problema još više. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo navesti sljedeći primjer: dana su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stanu još tri člana.

Prije nego što počnete rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti izraz koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Dodajmo sada pronađenu razliku 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, koji se poklapao s uvjetom problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim zadacima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, gdje je 15 = 50 i 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u uvjetu zadatka. Ipak, ispišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav je najlakše riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje dvojbe oko rezultata, možete ga provjeriti, npr. odrediti 43. član progresije koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.

Primjer #5: Zbroj

Sada pogledajmo neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.

Neka je zadana numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije ovaj se problem može riješiti, odnosno redom zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussov", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio riješiti u svom umu u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbrojevi biti točno 50 (100 / 2), onda je za točan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbroj članova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadan je niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo uzastopno zbrajanje. Budući da ima malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se riješiti ovaj problem drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između članova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako razliku ovih zbrojeva uzmemo i dodamo joj član a m (u slučaju uzimanja razlike ona se oduzima od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na zadatak. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je donekle glomazna, međutim zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.

Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi zadaci temelje se na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se pažljivo pročitati uvjet, jasno razumjeti što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda trebate učiniti upravo to, jer je u tom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6 moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i razdvojite opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti ga, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Nakon što to shvatite, nije tako teško.

Matematika ima svoju ljepotu, kao i slikarstvo i poezija.

Ruski znanstvenik, mehaničar N.E. Žukovski

Vrlo česti zadaci na prijemnom ispitu iz matematike su zadaci vezani uz pojam aritmetičke progresije. Za uspješno rješavanje takvih problema potrebno je dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prisjetimo se najprije glavnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, povezan s ovim pojmom.

Definicija. Numerički niz, u kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog istim brojem, naziva aritmetička progresija. Istovremeno, brojnaziva se razlika progresije.

Za aritmetičku progresiju vrijede formule

, (1)

gdje . Formula (1) naziva se formulom zajedničkog člana aritmetičke progresije, a formula (2) je glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije podudara se s aritmetičkom sredinom svojih susjednih članova i .

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetika".

Gore navedene formule (1) i (2) sažete su kako slijedi:

(3)

Za izračunavanje zbroja prvi članovi aritmetičke progresijeobično se koristi formula

(5) gdje je i .

Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda formula (5) implicira

Ako odredimo

gdje . Kako je , onda su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

posebno, iz formule (5) slijedi, što

Među malo poznatim većini učenika je svojstvo aritmetičke progresije, formulirano pomoću sljedećeg teorema.

Teorema. Ako tada

Dokaz. Ako tada

Teorem je dokazan.

Na primjer , pomoću teorema, može se pokazati da

Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu "Aritmetička progresija".

Primjer 1 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Primjenom formule (6) dobivamo . Od i , tada ili .

Primjer 2 Neka je tri puta više, a kod dijeljenja s u kvocijentu ispada 2, a ostatak je 8. Odredite i.

Riješenje. Sustav jednadžbi proizlazi iz uvjeta primjera

Kako je , , i , tada iz sustava jednadžbi (10) dobivamo

Rješenje ovog sustava jednadžbi su i .

Primjer 3 Pronađite ako i .

Riješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobivamo .

Od i , Zatim iz jednakosti slijedi jednadžba ili .

Primjer 4 Pronađite ako.

Riješenje.Po formuli (5) imamo

Međutim, korištenjem teorema može se pisati

Odavde i iz formule (11) dobivamo .

Primjer 5. Dano: . Pronaći .

Riješenje. Od tad . Međutim dakle .

Primjer 6 Neka , i . Pronaći .

Riješenje. Koristeći formulu (9), dobivamo . Stoga, ako je , tada ili .

Od i onda ovdje imamo sustav jednadžbi

Rješavajući koji, dobivamo i .

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7 Pronađite ako i .

Riješenje. Kako prema formuli (3) imamo da , onda sustav jednadžbi slijedi iz uvjeta zadatka

Ako zamijenimo izrazu drugu jednadžbu sustava, tada dobivamo ili .

Korijeni kvadratne jednadžbe su i .

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka , zatim . Od i , onda .

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako je , tada , i

Odgovor: i.

Primjer 8 Poznato je da i Pronaći .

Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .

To podrazumijeva sustav jednadžbi

Ako pomnožimo prvu jednadžbu sustava s 2, a zatim je dodamo drugoj jednadžbi, dobit ćemo

Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, iz (12) slijedi ili .

Od i , onda .

Odgovor: .

Primjer 9 Pronađite ako i .

Riješenje. Od , i pod uvjetom , onda ili .

Iz formule (5) poznato je, što . Od tad .

Posljedično, ovdje imamo sustav linearnih jednadžbi

Odavde dobivamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .

Primjer 10 Riješite jednadžbu.

Riješenje. Iz dane jednadžbe slijedi da je . Pretpostavimo da je , , i . U ovom slučaju .

Prema formuli (1) možemo napisati ili .

Budući da , jednadžba (13) ima jedinstveni odgovarajući korijen .

Primjer 11. Pronađite najveću vrijednost pod uvjetom da i .

Riješenje. Budući da je , tada je razmatrana aritmetička progresija padajuća. U tom smislu, izraz poprima najveću vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, koji i . Tada dobivamo to ili .

Jer , onda ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, zato .

Ako se vrijednosti i zamijene u formulu (6), tada dobivamo .

Odgovor: .

Primjer 12. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva koji pri dijeljenju sa 6 imaju ostatak 5.

Riješenje. Označimo skupom svih dvovrijednih prirodnih brojeva, tj. . Zatim konstruiramo podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se dijele s brojem 6, daju ostatak 5.

Jednostavan za postavljanje, što . očito, da elementi skupaoblikuju aritmetičku progresiju, u kojem i .

Da bismo odredili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Kako je i , tada formula (1) implicira ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo .

Gornji primjeri rješavanja problema nikako se ne mogu smatrati iscrpnima. Ovaj je članak napisan na temelju analize suvremenih metoda rješavanja tipičnih problema na zadanu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema povezanih s aritmetičkom progresijom, preporučljivo je pogledati popis preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike tehničkim sveučilištima / Ed. MI. Scanavi. - M .: Svijet i obrazovanje, 2013. - 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. - 208 str.

Imate li kakvih pitanja?

Za pomoć mentora - prijavite se.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(osam\); \(jedanaest\); \(14\)… je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog zbrajanjem tri):

U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije nazivaju se povećavajući se.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(deset\); \(četiri\); \(-2\); \(-8\)… progresijska razlika \(d\) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju smanjujući se.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija se označava malim latiničnim slovom.

Brojevi koji čine progresiju se nazivaju članova(ili elementi).

Označavaju se istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Rješavanje zadataka aritmetičkom progresijom

U principu, gore navedene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo bilo kojeg problema na aritmetičkoj progresiji (uključujući one ponuđene na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Riješenje:

Odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Dana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Riješenje:

Odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Zadano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Odredi vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Riješenje:

Odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je sljedećim uvjetima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Riješenje:

Odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Riješenje:

Odgovor: \(d=7\).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavno razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u tom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelu". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset šesti \(b_(386)\). Što je to, mi \ (385 \) puta da dodamo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...

Stoga se u takvim slučajevima ne rješava “na čelo”, već se koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo barem tristoti, čak i milijunti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Riješenje:

Odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje

\(a_n\) je posljednji zbrojeni izraz;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Riješenje:

Odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbroj \(n\) prvih članova, možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite ga formulom \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobivamo:

Formula za zbroj prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje

\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi član koji se zbraja;
\(d\) – razlika progresije;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.

Primjer. Nađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(četrnaest\)…
Riješenje:

Odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne za rješavanje gotovo svakog problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem zadataka u kojima ne treba samo primjenjivati ​​formule, već i malo razmišljati (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Nađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riješenje:

Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija dana je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\) do \(42\) elementa uključivo.
Riješenje:

Odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove male praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Što je bit formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je usvojiti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako treba, dat ću vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetičke progresije.

Što je uopće formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije - jasno je rečeno u prethodnoj lekciji. Baci oko ako nisi čitao. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što n-ti član.

Progresija se općenito može napisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - od a 120.

Kako općenito definirati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Pod slovom n kriju se odjednom svi brojevi članova: 1, 2, 3, 4 i tako dalje.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkim progresijama. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I hrpa zadataka za rješavanje u progresiji. Vidjet ćete dalje.

U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d i n. Oko ovih parametara sve se zagonetke vrte u progresiji.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u problemu se može reći da je progresija dana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može čak i zbuniti ... Nema serije, nema razlike ... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 \u003d 5 i d \u003d 2.

A može biti još ljući!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvorite zagrade i navedite slične? Dobivamo novu formulu:

an = 3 + 2n.

to Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi član pet ... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U zadacima za napredovanje postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n peti mandat, dakle a n+1 bit će šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah brojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nema šanse!) Dok se 19. mandat ne zna, 20. se ne može računati. To je temeljna razlika između rekurzivne formule i formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana - kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Ne računajući cijeli niz brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula se lako može pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA se takvi zadaci često nalaze.

Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodajte, da dodajte ... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Mi odlučujemo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaje za vidjeti što n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:

Molim obratite pozornost! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, a tisuću i treći bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i smatramo.

Dopustite mi da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo kojičlan aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Riješimo problem pametnije. Recimo da imamo sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, predložit ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, izravno u svoju bilježnicu:

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji sedamnaesti član ... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da ...

Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dvije mogućnosti. To je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta "sitnica" često promakne pokraj glave, a bez nje, (bez "sitnice", ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako ... i bez glave.)

Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to u:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u biti, sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati. Dobijate odgovor: a 1 = 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, moći izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se uopće ne može proučavati ...

Još jedan popularan problem:

Odredite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

Razmotrite ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:

12=2 + (15-1)d

Idemo računati.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci a n, a 1 i d odlučio. Ostaje naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovaj član progresije znamo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa treba pronaći i ovaj broj. Zamijenite progresivni član 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto nam trebaju oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još da se pozabavimo nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali kod nas to ni ne znamo... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti ... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak izvlačimo? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Negdje je između 101. i 102. člana. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:

Aritmetička progresija dana je uvjetom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule ... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, fatalno je pogrešno!) Jer je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. Ništa, sad ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim zadacima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Slično, tražimo deseti član:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali do ovih redaka, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog člana aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Ne baš strogo, ali svakako dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Za zaključak je dovoljno sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtamo numeričku os i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članova. I primijetite razliku d između članova. Kao ovo:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Ne stavljam neke riječi podebljane uzalud. U redu, još jedan korak.)

Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno do broja n, broj praznina bit će n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete staviti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi ... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule to je korisnije.) U odjeljku 555 ovaj je problem riješen i slikom i formulom. Osjeti razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, nevoljkost crtanja slike?) Ipak! Bolje je u formuli, da ...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom se zadatku napredovanje daje na ponavljajući način. Ali računajući do stotinu dvadeset i petog člana... Ne može svatko učiniti takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetu zadatka 4. pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Dogodilo se? Lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebna pažnja pri čitanju problema. I logika.

O rješenju svih ovih problema detaljno se govori u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema za formulu n-tog člana - sve je naslikano. Preporučam.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

• proširivanje i produbljivanje predodžbi učenika o zadacima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje istraživačke aktivnosti učenika u izvođenju formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije;
• razvoj sposobnosti za samostalno stjecanje novih znanja, korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatka;
• razvoj želje i potrebe za generaliziranjem dobivenih činjenica, razvoj samostalnosti.

Zadaci:

• generalizirati i sistematizirati postojeće znanje o temi "Aritmetička progresija";
• izvesti formule za izračunavanje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije;
• naučiti primijeniti dobivene formule u rješavanju različitih problema;
• skrenuti pozornost učenicima na postupak pronalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

• kartice sa zadacima za rad u skupinama i parovima;
• evaluacijski rad;
• prezentacija"Aritmetička progresija".

I. Aktualizacija temeljnih znanja.

1. Samostalan rad u paru.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite rekurzivnu formulu koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i označite njezinu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
Za to vrijeme dva učenika na poleđini ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad partnera uspoređujući ga s pločom. (Predaju se letci s odgovorima).

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelj, nastavnik, profesor. Zamislio sam neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. člana ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

1. Što je šesti član progresije i koja je razlika?
2. Što je osmi član progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, onda ih nastavnik može stimulirati - “zabrana” na d (razlika), odnosno nije dopušteno pitati koja je razlika. Možete postavljati pitanja: koji je 6. član progresije, a koji je 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na ploči je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut ploči. Učenici izgovaraju broj broja, a učiteljica odmah naziva sam broj. Objasnite mi kako to mogu učiniti?

Nastavnik se sjeća formule n-tog člana a n \u003d 3n - 2 i, zamjenom zadanih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n .

II. Izjava obrazovnog zadatka.

Predlažem da riješimo stari problem koji datira iz 2. tisućljeća prije Krista, pronađen u egipatskim papirusima.

Zadatak:"Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere."

• Kako se ovaj problem odnosi na temu aritmetičke progresije? (Svaka sljedeća osoba dobiva 1/8 mjere više, dakle razlika je d=1/8, 10 osoba, dakle n=10.)
• Što mislite što znači broj 10? (Zbroj svih članova progresije.)
• Što još trebate znati kako biste lako i jednostavno podijelili ječam prema stanju problema? (Prvi član progresije.)

Cilj lekcije- dobivanje ovisnosti zbroja članova progresije o njihovom broju, prvom članu i razlici te provjera je li zadatak bio ispravno riješen u antičko doba.

Prije izvođenja formule, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

A riješili su to ovako:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera - prosječni udio;
2) 1 mjera ∙ = 2 mjere - udvostručeno prosjek udio.
udvostručen prosjek udio je zbroj udjela 5. i 6. osobe.
3) 2 mjere - 1/8 mjere = 1 7/8 mjere - dvostruki udio pete osobe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješenje zadatka.

1. Rad u skupinama

1. grupa: Nađi zbroj 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Općenito

II grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussu).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Zaključak:

III grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Zaključak:

IV grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 101.

Zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se "Gaussova metoda".

2. Svaka skupina predstavlja rješenje zadatka na ploči.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ovaj zbroj nalazimo argumentirajući na sličan način:

4. Jesmo li riješili zadatak?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobivenih formula u rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog zadatka formulom.

2. Primjena formule u rješavanju raznih problema.

3. Vježbe za formiranje sposobnosti primjene formule u rješavanju zadataka.

A) Broj 613

dano :( i n) - aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Pronaći: S 1500

Riješenje: , i 1 = 1, i 1500 = 1500,

B) Dano: ( i n) - aritmetička progresija;
(i n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Pronaći: n
Riješenje:

V. Samostalni rad uz međusobnu provjeru.

Denis je otišao raditi kao kurir. U prvom mjesecu plaća mu je iznosila 200 rubalja, au svakom sljedećem mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je zaradio u godinu dana?

dano :( i n) - aritmetička progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Pronaći: S 12
Riješenje:

Odgovor: Denis je dobio 4380 rubalja za godinu.

VI. Uputa za domaću zadaću.

1. p. 4.3 - naučiti izvođenje formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Sastavite zadatak koji bi se riješio pomoću formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sažimanje lekcije.

1. Bodovi

2. Nastavi rečenice

• Danas sam na nastavi naučio...
• Naučene formule...
• Ja mislim da …

3. Znaš li pronaći zbroj brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. ur. G.V. Dorofeeva. Moskva: Prosvjetljenje, 2009.