При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаването на проблеми.

Аритметична или алгебрична прогресия е такъв набор от подредени рационални числа, всеки член на който се различава от предишния с някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да вземем пример. Следващата последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега даваме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с помощта на аритметична прогресия. Нека n означава n-тия член на редицата, където n е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са верни следните изрази:

1. За определяне на стойността на n-тия член е подходяща формулата: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n + a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от въпросния тип са изградени върху тяхното използване. Освен това не забравяйте, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1 .

Пример #1: Намиране на неизвестен член

Даваме прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., необходимо е да се намерят пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

1. Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По подобен начин може да се вземат всеки два други термина, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n - a n-1, тогава d \u003d a 5 - a 4, откъдето получаваме: a 5 \u003d a 4 + d. Заменяме известните стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения водят до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна. Такива последователности се наричат ​​намаляващи, защото всеки следващ член е по-малък от предходния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним малко задачата, дайте пример как

Известно е, че при някои първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Заменяме известните данни от условието в него, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така първата част от задачата е решена.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.

Пример #3: извършване на прогресия

Нека усложним още повече условието на задачата. Сега трябва да отговорите на въпроса как да намерите аритметична прогресия. Можем да дадем следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се направи алгебрична прогресия, така че между тях да се поберат още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, е необходимо да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като ще има още три термина между тях, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установихме това, преминаваме към задача, подобна на предишната. Отново за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. От: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Тук разликата не е цяло число, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, което съвпадаше с условието на задачата.

Пример #4: Първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега разгледайте задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери от кое число започва тази редица.

Формулите, които са използвани досега, предполагат познаване на 1 и d. За тези числа в условието на задачата не се знае нищо. Въпреки това, нека напишем изразите за всеки член, за който имаме информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за решаване, ако изразите 1 във всяко уравнение и след това сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43-ия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример #5: Сума

Сега нека да разгледаме някои примери с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно да се съберат всички числа, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусова", тъй като в началото на 18 век известният германец, едва 10-годишен, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако добавите двойки числа, разположени в краищата на редицата, винаги получавате един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава, за да получите правилния отговор, е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример #6: сбор от членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде сумата от нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това последователното им сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е достатъчно трудоемък. Въпреки това се предлага да се реши този проблем чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебрична прогресия между членове m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че сумата 2 включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), тогава получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаването на израза за n-тия член и формулата за сумата от множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво искате да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разбийте общата задача на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако има съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Разбрахме как да намерим аритметична прогресия. След като го разберете, не е толкова трудно.

Математиката има своята красота, както рисуването и поезията.

Руски учен, механик N.E. Жуковски

Много често срещани задачи в приемните тестове по математика са задачите, свързани с понятието аритметична прогресия. За успешното решаване на такива задачи е необходимо да се познават добре свойствата на аритметичната прогресия и да има определени умения за тяхното прилагане.

Нека първо си припомним основните свойства на аритметичната прогресия и да представим най-важните формули, свързани с това понятие.

Определение. Числова последователност, в който всеки следващ член се различава от предходния с едно и също число, наречена аритметична прогресия. В същото време броятсе нарича прогресивна разлика.

За аритметична прогресия формулите са валидни

, (1)

където . Формула (1) се нарича формула на общия член на аритметична прогресия, а формула (2) е основното свойство на аритметична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното аритметично на съседните й членове и .

Имайте предвид, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича "аритметична".

Формули (1) и (2) по-горе са обобщени, както следва:

(3)

За изчисляване на суматапърви членове на аритметична прогресияобикновено се използва формулата

(5) където и .

Ако вземем предвид формулата (1), тогава формула (5) предполага

Ако обозначим

където . Тъй като , то формули (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).

По-специално , от формула (5) следва, Какво

Сред малко познатите на повечето ученици е свойството на аритметичната прогресия, формулирано с помощта на следната теорема.

Теорема.Ако , тогава

Доказателство.Ако , тогава

Теоремата е доказана.

Например , използвайки теоремата, може да се покаже, че

Нека да преминем към разглеждането на типични примери за решаване на задачи по темата "Аритметична прогресия".

Пример 1Нека и . Намирам .

Решение.Прилагайки формула (6), получаваме . Тъй като и , тогава или .

Пример 2Нека три пъти повече и когато се раздели на 2 в частното, остатъкът е 8. Определете и.

Решение.Системата от уравнения следва от условието на примера

Тъй като , , и , то от системата от уравнения (10) получаваме

Решението на тази система от уравнения са и .

Пример 3Намерете дали и .

Решение.Съгласно формула (5) имаме или . Въпреки това, използвайки свойство (9), получаваме .

Тъй като и , Тогава от равенството уравнението следваили .

Пример 4Намерете дали.

Решение.По формула (5) имаме

Въпреки това, използвайки теоремата, човек може да пише

От тук и от формула (11) получаваме .

Пример 5. Дадено: . Намирам .

Решение.От тогава . Въпреки това, следователно.

Пример 6Нека и . Намирам .

Решение.Използвайки формула (9), получаваме . Следователно, ако , тогава или .

Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Решавайки кое, получаваме и .

Естествен корен на уравнениетое .

Пример 7Намерете дали и .

Решение.Тъй като съгласно формула (3) имаме, че , то системата от уравнения следва от условието на задачата

Ако заместим изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или .

Корените на квадратното уравнение саи .

Нека разгледаме два случая.

1. Нека , тогава . Тъй като и , тогава .

В този случай, съгласно формула (6), имаме

2. Ако , тогава , и

Отговор: и.

Пример 8Известно е, че и Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5) и условието на примера, записваме и .

Това предполага системата от уравнения

Ако умножим първото уравнение на системата по 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме

Според формула (9) имаме. В тази връзка от (12) следваили .

Тъй като и , тогава .

Отговор: .

Пример 9Намерете дали и .

Решение.Тъй като , и по условие , тогава или .

От формула (5) е известно, Какво . От тогава .

Следователно, тук имаме система от линейни уравнения

От тук получаваме и . Като вземем предвид формула (8), пишем .

Пример 10Решете уравнението.

Решение.От даденото уравнение следва, че . Да приемем, че , , и . В такъв случай .

Съгласно формула (1) можем да запишем или .

Тъй като , уравнение (13) има единствен подходящ корен .

Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и .

Решение.Тъй като , тогава разглежданата аритметична прогресия е намаляваща. В това отношение изразът приема максимална стойност, когато е числото на минималния положителен член на прогресията.

Използваме формула (1) и факта, което и . Тогава получаваме това или .

Защото тогава или . Въпреки това, в това неравенствонай-голямото естествено число, Ето защо .

Ако стойностите и се заменят във формула (6), тогава получаваме.

Отговор: .

Пример 12.Намерете сбора на всички двуцифрени естествени числа, които при деление на 6 имат остатък 5.

Решение.Означаваме с множеството на всички двузначни естествени числа, т.е. . След това конструираме подмножество, състоящо се от тези елементи (числа) на множеството, които, когато се разделят на числото 6, дават остатък от 5.

Лесен за монтаж, Какво . очевидно, че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в който и .

За да определим кардиналността (броя елементи) на множеството, приемаме, че . Тъй като и , то формула (1) предполага или . Като вземем предвид формула (5), получаваме .

Горните примери за решаване на задачи в никакъв случай не могат да претендират за изчерпателност. Тази статия е написана на базата на анализ на съвременни методи за решаване на типични задачи по дадена тема. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с аритметичната прогресия, препоръчително е да се обърнете към списъка с препоръчителна литература.

1. Сборник от задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. M.I. Сканави. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. - 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по начална математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. - 208 с.

Имате ли някакви въпроси?

За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Например последователността \(2\); \(5\); \(осем\); \(единадесет\); \(14\)… е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(десет\); \(четири\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи в аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметичната прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, означен с буквата \(x\).
Решение:

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се реши "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е това, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на чело“, а използват специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата \(n\) на първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, знаейки само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума \(n\) на първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(четиринадесет\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради тяхната ниска практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Каква е същността на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Разбира се, трябва да знаете първия член а 1и разлика в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.

Не е достатъчно да запомните (или да измамите) тази формула. Необходимо е да се усвои нейната същност и да се приложи формулата в различни проблеми. Да, и не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяйте- Не знам. Но как да запомнитеАко трябва, ще ви подскажа. За тези, които усвояват урока до края.)

И така, нека се заемем с формулата на n-тия член на аритметичната прогресия.

Какво е формула като цяло - ние си представяме.) Какво е аритметична прогресия, членно число, прогресивна разлика - е ясно казано в предишния урок. Погледнете, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво n-ти член.

Прогресията като цяло може да бъде записана като поредица от числа:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

а 1- обозначава първия член на аритметичната прогресия, а 3- трети член а 4- четвърти и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, да кажем, че работим с а 5, ако сто и двадесети - от 120.

Как да се определи най-общо всякаквичлен на аритметична прогресия, s всякаквиномер? Много просто! Като този:

a n

Това е, което е n-ти член на аритметична прогресия.Под буквата n всички номера на членовете са скрити наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв рекорд? Само си помислете, че вместо число те записаха буква ...

Тази нотация ни дава мощен инструмент за работа с аритметични прогресии. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И куп задачи за решаване в прогресия. Ще видите по-нататък.

Във формулата на n-тия член на аритметична прогресия:

а 1- първият член на аритметичната прогресия;

н- членски номер.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n ; a 1; ди н. Около тези параметри всички пъзели се въртят в прогресия.

Формулата на n-тия член може също да се използва за записване на конкретна прогресия. Например в задачата може да се каже, че прогресията е дадена от условието:

a n = 5 + (n-1) 2.

Такъв проблем може дори да обърка ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да разберем, че в тази прогресия a 1 \u003d 5 и d \u003d 2.

И може да бъде още по-ядосан!) Ако вземем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,да, отвори скобите и дай подобни? Получаваме нова формула:

an = 3 + 2n.

то Само не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие капанът. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет ... Малко по-ниско ще работим с такава модифицирана формула.

В задачите за прогресия има друго обозначение - a n+1. Това е, познахте, членът "n плюс първия" на прогресията. Значението му е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто брой е по-голям от числото n с единица. Например, ако при някакъв проблем приемаме за a nпети мандат, тогава a n+1ще бъде шестият член. и т.н.

Най-често обозначението a n+1среща се в рекурсивни формули. Не се страхувайте от тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на термин от аритметична прогресия през предишния.Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки рекурентната формула:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвъртият - през трети, петият - през четвърти и т.н. И как да преброим веднага, да кажем двадесетия член, а 20? Но няма начин!) Докато 19-ият мандат не е известен, 20-ият не може да се брои. Това е фундаменталната разлика между рекурсивната формула и формулата на n-тия член. Рекурсивно работи само чрез предишентермин, а формулата на n-тия член - чрез първияти позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да броим цялата поредица от числа по ред.

В аритметична прогресия една рекурсивна формула може лесно да се превърне в правилна. Пребройте чифт последователни членове, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, напишете формулата в обичайната форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Приложение на формулата на n-тия член на аритметична прогресия.

Първо, нека да разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:

Дадена е аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 =3 и d=1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавете, да добавете ... Час или два.)

И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го засечете.) Ние решаваме.

Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Остава да видим какво н.Няма проблем! Трябва да намерим 121. Тук пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересува ни членът на аритметичната прогресия номер сто и двадесет и едно.Това ще бъде нашето н.Това е смисълът н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заменете всички числа във формулата и изчислете:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Това е всичко. Също толкова бързо можеше да се намери петстотин и десетият член, а хиляда и третият, всеки. Ние поставяме вместо нжелания номер в индекса на буквата " а"и в скоби, и считаме.

Нека ви напомня същността: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР" н" .

Нека решим проблема по-умно. Да кажем, че имаме следния проблем:

Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 =-2; d=-0,5.

Ако имате затруднения, ще ви предложа първата стъпка. Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия!Да да. Напишете на ръка, направо в бележника си:

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? На разположение d=-0,5,има седемнадесети член ... Всичко? Ако мислите, че това е всичко, тогава не можете да разрешите проблема, да ...

Имаме и номер н! В състояние а 17 =-2скрит два варианта.Това е както стойността на седемнадесетия член (-2), така и неговия номер (17). Тези. n=17.Това "малко нещо" често се изплъзва покрай главата и без него (без "малкото нещо", а не главата!) Проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можем просто да заменим нашите данни във формулата:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека го поставим в:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Това по същество е всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да изчислим. Получавате отговора: а 1 = 6.

Такава техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, трябва, разбира се, да можете да изразите променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката изобщо не може да се изучава ...

Друг популярен проблем:

Намерете разликата на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 =2; а 15 =12.

Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)

Помислете какво знаем: a 1 =2; а 15 =12; и (специален акцент!) n=15. Чувствайте се свободни да замените във формулата:

12=2 + (15-1)d

Нека направим аритметиката.)

12=2 + 14d

д=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачи a n, a 1и дреши. Остава да научите как да намерите номера:

Числото 99 е член на аритметична прогресия (a n), където a 1 =12; d=3. Намерете номера на този член.

Заместваме известните количества във формулата на n-тия член:

a n = 12 + (n-1) 3

На пръв поглед тук има две неизвестни величини: a n и n.Но a nе някакъв член на прогресията с числото н... И този член на прогресията познаваме! 99 е. Не знаем номера му. н,така че това число също трябва да бъде намерено. Заместете прогресивния член 99 във формулата:

99 = 12 + (n-1) 3

Изразяваме от формулата н, мислим. Получаваме отговора: n=30.

А сега проблем на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 ще бъде член на аритметична прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Нека напишем формулата отново. Какво, няма опции? Хм... Защо ни трябват очи?) Виждаме ли първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: a 1 \u003d -3,6.Разлика дможе да се определи от серията? Лесно е, ако знаете каква е разликата между аритметичната прогресия:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Да, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестен номер ни неразбираемо число 117. В предишната задача поне се знаеше, че е даден членът на прогресията. Но тук дори не знаем, че ... Как да бъдем!? Е, как да бъде, как да бъде ... Включете творческите си способности!)

Ние предполагамче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С непознат номер н. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да-да!)) и заместваме нашите числа:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:

Опа! Номерът се получи дробна!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод правим? да Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Това е някъде между 101-ия и 102-ия член. Ако числото се оказа естествено, т.е. положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: не.

Задача, базирана на реална версия на GIA:

Аритметичната прогресия се дава от условието:

a n \u003d -4 + 6,8n

Намерете първия и десетия член на прогресията.

Тук прогресията е зададена по необичаен начин. Някаква формула ... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - също и формулата на n-тия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири, е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметична прогресия в него скрит.Нищо, сега ще го намерим.)

Точно както в предишните задачи, ние заместваме n=1в тази формула:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Тук! Първият член е 2,8, а не -4!

По подобен начин търсим десетия член:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Това е всичко.

А сега, за тези, които са прочели до тези редове, обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудна бойна ситуация на GIA или Единния държавен изпит сте забравили полезната формула на n-тия член на аритметичната прогресия. Нещо ми хрумва, но някак несигурно... Дали нтам, или n+1, или n-1...Как да бъде!?

Спокоен! Тази формула е лесна за извеждане. Не много строго, но определено достатъчно за увереност и правилно решение!) За заключение е достатъчно да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.

Начертаваме цифрова ос и отбелязваме първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И забележете разликата дмежду членовете. Като този:

Гледаме картината и си мислим: на какво е равен вторият член? Второ един д:

а 2 =a 1 + 1 д

Какъв е третият член? треточлен е равен на първия член плюс две д.

а 3 =a 1 + 2 д

Схващаш ли? Не слагам някои думи с удебелен шрифт за нищо. Добре, още една стъпка.)

Какъв е четвъртият член? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.

а 4 =a 1 + 3 д

Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. д, винаги с един по-малко от номера на члена, който търсите н. Тоест до бройката n, брой празнинище бъде n-1.И така, формулата ще бъде (без опции!):

Като цяло, визуалните изображения са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава ... само формула!) Освен това формулата на n-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да поставите картина в уравнение...

Задачи за самостоятелно решаване.

За загряване:

1. В аритметична прогресия (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Намерете 3.

Подсказка: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата се оказва по-трудно. Но за овладяването на формулата е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен както чрез картината, така и чрез формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е загрявка.)

2. В аритметична прогресия (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Намерете a 3 .

Какво, нежелание да нарисуваш картина?) Все пак! По-добре е във формулата, да...

3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се дава по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и петия член... Не всеки може да направи такъв подвиг.) Но формулата на n-тия член е по силите на всеки!

4. Дадена е аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете номера на най-малкия положителен член на прогресията.

5. Съгласно условието на задача 4 да се намери сумата от най-малкия положителен и най-големия отрицателен член на прогресията.

6. Произведението от петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е -2,5, а сумата от третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръстите" няма да работи. Трябва да пишете формули и да решавате уравнения.

Отговори (в безпорядък):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има една тънка точка. Ще се изисква внимание при четене на проблема. И логика.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И фантастичният елемент за четвъртия, и финият момент за шестия, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми за формулата на n-тия член - всичко е боядисано. Препоръчвам.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тип урок:изучаване на нов материал.

Цели на урока:

• разширяване и задълбочаване на представите на учениците за задачи, решавани с помощта на аритметична прогресия; организиране на търсещата дейност на учениците при извеждане на формулата за сумата от първите n членове на аритметична прогресия;
• развитие на умения за самостоятелно придобиване на нови знания, използване на вече придобити знания за постигане на задачата;
• развитие на желанието и потребността от обобщаване на получените факти, развитие на независимост.

Задачи:

• обобщават и систематизират съществуващите знания по темата „Аритметична прогресия“;
• извежда формули за изчисляване на сумата от първите n членове на аритметична прогресия;
• научи как да прилага получените формули при решаване на различни проблеми;
• насочете вниманието на учениците към процедурата за намиране на стойността на числов израз.

Оборудване:

• карти със задачи за работа в групи и по двойки;
• оценителна хартия;
• представяне„Аритметична прогресия“.

I. Актуализиране на опорни знания.

1. Самостоятелна работа по двойки.

1-ви вариант:

Дефинирайте аритметична прогресия. Запишете рекурсивна формула, която дефинира аритметична прогресия. Дайте пример за аритметична прогресия и посочете нейната разлика.

2-ри вариант:

Запишете формулата за n-тия член на аритметична прогресия. Намерете 100-ия член на аритметична прогресия ( a n}: 2, 5, 8 …
В това време двама ученика на гърба на дъската подготвят отговори на едни и същи въпроси.
Учениците оценяват работата на партньора, като я сравняват с дъската. (Връчват се листовки с отговори).

2. Игрови момент.

Упражнение 1.

Учител.Замислих някаква аритметична прогресия. Задайте ми само два въпроса, така че след отговорите да можете бързо да посочите 7-ия член на тази прогресия. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Въпроси от студенти.

1. Какъв е шестият член на прогресията и каква е разликата?
2. Какъв е осмият член на прогресията и каква е разликата?

Ако няма повече въпроси, тогава учителят може да ги стимулира - „забрана“ на d (разлика), тоест не е позволено да питате каква е разликата. Можете да задавате въпроси: какъв е 6-ият член на прогресията и какъв е 8-ият член на прогресията?

Задача 2.

На дъската са написани 20 числа: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учителят стои с гръб към дъската. Учениците казват номера на номера, а учителят веднага извиква самия номер. Обяснете как мога да го направя?

Учителят помни формулата на n-тия член a n \u003d 3n - 2и, замествайки дадените стойности на n, намира съответните стойности a n .

II. Постановка на учебната задача.

Предлагам да разрешим един стар проблем, датиращ от 2-ро хилядолетие пр.н.е., намерен в египетски папируси.

Задача:„Нека ви се каже: разделете 10 мери ечемик между 10 души, разликата между всеки човек и неговия съсед е 1/8 от мярката.“

• Как този проблем е свързан с темата за аритметичната прогресия? (Всеки следващ човек получава 1/8 от мярката повече, така че разликата е d=1/8, 10 души, така че n=10.)
• Какво мислите, че означава числото 10? (Сумата от всички членове на прогресията.)
• Какво още трябва да знаете, за да можете лесно и лесно да разделите ечемика според състоянието на проблема? (Първият член на прогресията.)

Цел на урока- получаване на зависимостта на сумата от членовете на прогресията от техния брой, първия член и разликата и проверка дали задачата е решена правилно в древността.

Преди да изведем формулата, нека видим как древните египтяни са решили проблема.

И го решиха така:

1) 10 мерки: 10 = 1 мярка - среден дял;
2) 1 такта ∙ = 2 такта - удвоено средно аритметичнодял.
удвоени средно аритметичноделът е сбор от дяловете на 5-то и 6-то лице.
3) 2 такта - 1/8 такт = 1 7/8 такт - удвоен дял на петото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - делът на петата; и така нататък, можете да намерите дела на всеки предишен и следващ човек.

Получаваме последователността:

III. Решението на задачата.

1. Работа в групи

1-ва група:Намерете сбора на 20 последователни естествени числа: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Общо взето

II група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 100 (Легенда за малкия Гаус).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Заключение:

III група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Заключение:

IV група:Намерете сбора на естествените числа от 1 до 101.

Заключение:

Този метод за решаване на разглежданите проблеми се нарича "метод на Гаус".

2. Всяка група представя решението на задачата на дъската.

3. Обобщение на предложените решения за произволна аритметична прогресия:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Намираме тази сума, като аргументираме по подобен начин:

4. Решихме ли задачата?(Да.)

IV. Първично разбиране и прилагане на получените формули при решаване на задачи.

1. Проверка на решението на стара задача по формулата.

2. Приложение на формулата при решаване на различни задачи.

3. Упражнения за формиране на способност за прилагане на формулата при решаване на задачи.

А) № 613

дадено :( и n) -аритметична прогресия;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Намирам: S 1500

Решение: , и 1 = 1 и 1500 = 1500,

B) Като се има предвид: ( и n) -аритметична прогресия;
(и n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Намирам: н
Решение:

V. Самостоятелна работа с взаимопроверка.

Денис отиде да работи като куриер. През първия месец заплатата му беше 200 рубли, през всеки следващ месец се увеличаваше с 30 рубли. Колко спечели за една година?

дадено :( и n) -аритметична прогресия;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Намирам: S 12
Решение:

Отговор: Денис получи 4380 рубли за годината.

VI. Инструкция за домашна работа.

1. стр. 4.3 - научете извеждането на формулата.
2. №№ 585, 623 .
3. Съставете задача, която ще бъде решена с помощта на формулата за сумата от първите n члена на аритметична прогресия.

VII. Обобщаване на урока.

1. Лист с резултати

2. Продължете изреченията

• Днес в час научих...
• Научени формули...
• Мисля, че …

3. Можете ли да намерите сбора на числата от 1 до 500? Какъв метод ще използвате за решаване на този проблем?

Библиография.

1. Алгебра 9 клас. Учебник за образователни институции. Изд. Г.В. Дорофеева.Москва: Просвещение, 2009 г.