Kur studioni algjebër në një shkollë të mesme (klasa 9), një nga temat e rëndësishme është studimi i sekuencave numerike, të cilat përfshijnë përparime - gjeometrike dhe aritmetike. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një progresion aritmetik dhe shembuj me zgjidhje.

Çfarë është një progresion aritmetik?

Për ta kuptuar këtë, është e nevojshme të jepet një përkufizim i progresionit në shqyrtim, si dhe të jepen formulat bazë që do të përdoren më tej në zgjidhjen e problemeve.

Një progresion aritmetik ose algjebrik është një grup i tillë numrash racionalë të renditur, secili anëtar i të cilit ndryshon nga ai i mëparshmi me një sasi konstante. Kjo vlerë quhet diferencë. Kjo do të thotë, duke ditur çdo anëtar të një serie numrash të renditur dhe ndryshimin, ju mund të rivendosni të gjithë progresionin aritmetik.

Le të marrim një shembull. Sekuenca tjetër e numrave do të jetë një progresion aritmetik: 4, 8, 12, 16, ..., pasi ndryshimi në këtë rast është 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Por grupi i numrave 3, 5, 8, 12, 17 nuk mund t'i atribuohet më llojit të konsideruar të progresionit, pasi ndryshimi për të nuk është një vlerë konstante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula të rëndësishme

Tani japim formulat bazë që do të nevojiten për të zgjidhur problemet duke përdorur një progresion aritmetik. Le të tregojmë një n anëtarin e n-të të sekuencës, ku n është një numër i plotë. Ndryshimi shënohet me shkronjën latine d. Atëherë shprehjet e mëposhtme janë të vërteta:

1. Për të përcaktuar vlerën e termit të n-të, formula është e përshtatshme: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Për të përcaktuar shumën e n termave të parë: S n = (a n + a 1)*n/2.

Për të kuptuar çdo shembull të një progresion aritmetik me një zgjidhje në klasën 9, mjafton të mbani mend këto dy formula, pasi çdo problem i llojit në fjalë bazohet në përdorimin e tyre. Gjithashtu, mos harroni se ndryshimi i progresionit përcaktohet nga formula: d = a n - a n-1 .

Shembulli #1: Gjetja e një Anëtari të panjohur

Ne japim një shembull të thjeshtë të një progresion aritmetik dhe formulat që duhet të përdoren për të zgjidhur.

Le të jepet sekuenca 10, 8, 6, 4, ..., është e nevojshme të gjesh pesë terma në të.

Tashmë nga kushtet e problemit rezulton se dihen 4 termat e parë. E pesta mund të përkufizohet në dy mënyra:

1. Le të llogarisim diferencën së pari. Kemi: d = 8 - 10 = -2. Në mënyrë të ngjashme, dikush mund të marrë çdo dy terma të tjerë që qëndrojnë pranë njëri-tjetrit. Për shembull, d = 4 - 6 = -2. Meqenëse dihet që d \u003d a n - a n-1, atëherë d \u003d a 5 - a 4, nga ku marrim: a 5 \u003d a 4 + d. Zëvendësojmë vlerat e njohura: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Metoda e dytë kërkon gjithashtu njohuri për ndryshimin e progresionit në fjalë, kështu që së pari duhet ta përcaktoni atë, siç tregohet më lart (d = -2). Duke ditur se termi i parë a 1 = 10, ne përdorim formulën për numrin n të sekuencës. Ne kemi: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Duke zëvendësuar n = 5 në shprehjen e fundit, marrim: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Siç mund ta shihni, të dyja zgjidhjet çojnë në të njëjtin rezultat. Vini re se në këtë shembull ndryshimi d i progresionit është negativ. Sekuenca të tilla quhen zvogëluese sepse çdo term i njëpasnjëshëm është më i vogël se ai i mëparshmi.

Shembulli #2: ndryshimi i progresionit

Tani le ta komplikojmë pak detyrën, të japim një shembull se si

Dihet se në disa termi i parë është i barabartë me 6, dhe termi i 7 është i barabartë me 18. Është e nevojshme të gjendet ndryshimi dhe të rivendoset kjo sekuencë në termin e 7-të.

Le të përdorim formulën për të përcaktuar termin e panjohur: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ne zëvendësojmë të dhënat e njohura nga gjendja në të, domethënë numrat a 1 dhe a 7, kemi: 18 \u003d 6 + 6 * d. Nga kjo shprehje, ju mund të llogaritni lehtësisht diferencën: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kështu, pjesa e parë e problemit u përgjigj.

Për të rivendosur sekuencën në anëtarin e 7-të, duhet të përdorni përkufizimin e një progresion algjebrik, domethënë a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e kështu me radhë. Si rezultat, ne rivendosim të gjithë sekuencën: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dhe 7 = 18.

Shembulli #3: duke bërë një progresion

Le ta komplikojmë edhe më shumë gjendjen e problemit. Tani ju duhet t'i përgjigjeni pyetjes se si të gjeni një progresion aritmetik. Mund të japim shembullin e mëposhtëm: jepen dy numra, për shembull, 4 dhe 5. Është e nevojshme të bëhet një progresion algjebrik në mënyrë që tre terma të tjerë të vendosen ndërmjet tyre.

Para se të filloni të zgjidhni këtë problem, është e nevojshme të kuptoni se çfarë vendi do të zënë numrat e dhënë në progresionin e ardhshëm. Meqenëse do të ketë tre terma të tjerë midis tyre, pastaj një 1 \u003d -4 dhe një 5 \u003d 5. Pasi e kemi vendosur këtë, ne vazhdojmë me një detyrë që është e ngjashme me atë të mëparshme. Përsëri, për termin e n-të, ne përdorim formulën, marrim: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Nga: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Këtu ndryshimi nuk është një vlerë e plotë, por është një numër racional, kështu që formulat për progresionin algjebrik mbeten të njëjta.

Tani le të shtojmë ndryshimin e gjetur në një 1 dhe të rivendosim anëtarët që mungojnë të progresionit. Ne marrim: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u që përkonte me gjendjen e problemit.

Shembulli #4: Anëtari i parë i progresionit

Ne vazhdojmë të japim shembuj të një progresion aritmetik me një zgjidhje. Në të gjitha problemet e mëparshme, numri i parë i progresionit algjebrik ishte i njohur. Tani merrni parasysh një problem të një lloji tjetër: le të jepen dy numra, ku një 15 = 50 dhe një 43 = 37. Është e nevojshme të gjendet se nga cili numër fillon kjo sekuencë.

Formulat që janë përdorur deri tani supozojnë njohuri për një 1 dhe d. Asgjë nuk dihet për këto shifra në gjendjen e problemit. Sidoqoftë, le të shkruajmë shprehjet për secilin term për të cilin kemi informacion: a 15 = a 1 + 14 * d dhe a 43 = a 1 + 42 * d. Ne morëm dy ekuacione në të cilat ka 2 madhësi të panjohura (a 1 dhe d). Kjo do të thotë që problemi reduktohet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare.

Sistemi i specifikuar është më i lehtë për t'u zgjidhur nëse shprehni një 1 në çdo ekuacion dhe më pas krahasoni shprehjet që rezultojnë. Ekuacioni i parë: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ekuacioni i dytë: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Duke barazuar këto shprehje, marrim: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, nga ku diferenca d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (janë dhënë vetëm 3 shifra dhjetore).

Duke ditur d, mund të përdorni ndonjë nga 2 shprehjet e mësipërme për një 1. Për shembull, së pari: një 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Nëse ka dyshime për rezultatin, mund ta kontrolloni atë, për shembull, të përcaktoni anëtarin e 43-të të progresionit, i cili specifikohet në kusht. Ne marrim: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Një gabim i vogël është për faktin se në llogaritjet është përdorur rrumbullakimi në të mijëtat.

Shembulli #5: Shuma

Tani le të shohim disa shembuj me zgjidhje për shumën e një progresion aritmetik.

Le të jepet një progresion numerik i formës së mëposhtme: 1, 2, 3, 4, ...,. Si të llogaritet shuma e 100 prej këtyre numrave?

Falë zhvillimit të teknologjisë kompjuterike, ky problem mund të zgjidhet, domethënë të mblidhen në mënyrë sekuenciale të gjithë numrat, gjë që kompjuteri do ta bëjë sapo një person të shtypë tastin Enter. Sidoqoftë, problemi mund të zgjidhet mendërisht nëse i kushtoni vëmendje se seria e paraqitur e numrave është një progresion algjebrik dhe ndryshimi i tij është 1. Duke zbatuar formulën për shumën, marrim: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Është kurioze të theksohet se ky problem quhet “Gaussian”, pasi në fillim të shekullit të 18-të gjermani i famshëm, ende në moshën vetëm 10-vjeçare, mundi ta zgjidhte në mendjen e tij për pak sekonda. Djali nuk e dinte formulën për shumën e një progresion algjebrik, por vuri re se nëse shtoni çifte numrash të vendosur në skajet e sekuencës, gjithmonë merrni të njëjtin rezultat, domethënë 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dhe meqenëse këto shuma do të jenë saktësisht 50 (100 / 2), atëherë për të marrë përgjigjen e saktë, mjafton të shumëzoni 50 me 101.

Shembulli #6: shuma e termave nga n në m

Një shembull tjetër tipik i shumës së një progresion aritmetik është si vijon: duke pasur parasysh një seri numrash: 3, 7, 11, 15, ..., ju duhet të gjeni se sa do të jetë shuma e termave të tij nga 8 në 14.

Problemi zgjidhet në dy mënyra. E para prej tyre përfshin gjetjen e termave të panjohur nga 8 në 14, dhe më pas përmbledhjen e tyre në mënyrë sekuenciale. Meqenëse ka pak terma, kjo metodë nuk është mjaft e mundimshme. Sidoqoftë, propozohet të zgjidhet ky problem me metodën e dytë, e cila është më universale.

Ideja është të merret një formulë për shumën e një progresion algjebrik midis termave m dhe n, ku n > m janë numra të plotë. Për të dyja rastet, ne shkruajmë dy shprehje për shumën:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Meqenëse n > m, është e qartë se shuma 2 përfshin të parën. Konkluzioni i fundit do të thotë se nëse marrim ndryshimin midis këtyre shumave dhe i shtojmë termin a m (në rastin e marrjes së diferencës, ai zbritet nga shuma S n), atëherë marrim përgjigjen e nevojshme për problemin. Kemi: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Është e nevojshme të zëvendësohen formulat për një n dhe një m në këtë shprehje. Pastaj marrim: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula që rezulton është disi e rëndë, megjithatë, shuma S mn varet vetëm nga n, m, a 1 dhe d. Në rastin tonë, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Duke zëvendësuar këta numra, marrim: S mn = 301.

Siç shihet nga zgjidhjet e mësipërme, të gjitha problemat bazohen në njohjen e shprehjes për termin e n-të dhe në formulën për shumën e grupit të termave të parë. Para se të filloni të zgjidhni ndonjë nga këto probleme, rekomandohet që të lexoni me kujdes gjendjen, të kuptoni qartë se çfarë dëshironi të gjeni dhe vetëm atëherë të vazhdoni me zgjidhjen.

Një këshillë tjetër është të përpiqeni për thjeshtësi, domethënë nëse mund t'i përgjigjeni pyetjes pa përdorur llogaritjet komplekse matematikore, atëherë duhet të bëni pikërisht këtë, pasi në këtë rast probabiliteti për të bërë një gabim është më i vogël. Për shembull, në shembullin e një progresion aritmetik me zgjidhjen nr. 6, mund të ndalemi në formulën S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dhe ndani detyrën e përgjithshme në nëndetyra të veçanta (në këtë rast, së pari gjeni termat a n dhe a m).

Nëse ka dyshime për rezultatin e marrë, rekomandohet ta kontrolloni atë, siç është bërë në disa nga shembujt e dhënë. Si të gjeni një progresion aritmetik, u zbulua. Pasi ta kuptoni, nuk është aq e vështirë.

Matematika ka bukurinë e vet, ashtu si piktura dhe poezia.

Shkencëtari rus, mekanik N.E. Zhukovsky

Detyrat shumë të zakonshme në testet hyrëse në matematikë janë detyra që lidhen me konceptin e një progresion aritmetik. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, është e nevojshme të njihen mirë vetitë e një progresion aritmetik dhe të ketë aftësi të caktuara në zbatimin e tyre.

Le të kujtojmë fillimisht vetitë kryesore të një progresion aritmetik dhe të paraqesim formulat më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.

Përkufizimi. Sekuenca numerike, në të cilin çdo term i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër, quhet progresion aritmetik. Në të njëjtën kohë, numriquhet dallimi i progresionit.

Për një progresion aritmetik, formulat janë të vlefshme

, (1)

ku . Formula (1) quhet formula e termit të përbashkët të një progresion aritmetik, dhe formula (2) është vetia kryesore e një progresion aritmetik: çdo anëtar i progresionit përkon me mesataren aritmetike të anëtarëve të tij fqinjë dhe .

Vini re se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në shqyrtim quhet "aritmetik".

Formulat (1) dhe (2) më sipër janë përmbledhur si më poshtë:

(3)

Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion aritmetikzakonisht përdoret formula

(5) ku dhe .

Nëse marrim parasysh formulën (1), atëherë formula (5) nënkupton

Nëse caktojmë

ku . Meqenëse , atëherë formulat (7) dhe (8) janë një përgjithësim i formulave përkatëse (5) dhe (6).

Veçanërisht , nga formula (5) rrjedh, çfarë

Ndër gjërat pak të njohura për shumicën e studentëve është vetia e një progresion aritmetik, të formuluar me anë të teoremës së mëposhtme.

Teorema. Nese atehere

Dëshmi. Nese atehere

Teorema është vërtetuar.

Për shembull , duke përdorur teoremën, mund të tregohet se

Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni aritmetik".

Shembulli 1 Le dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën (6), marrim . Që dhe , atëherë ose .

Shembulli 2 Lëreni tre herë më shumë, dhe kur pjesëtohet me në herës, del 2 dhe mbetja është 8. Përcaktoni dhe.

Zgjidhje. Sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e shembullit

Meqenëse , , dhe , atëherë nga sistemi i ekuacioneve (10) marrim

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh janë dhe .

Shembulli 3 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Sipas formulës (5), kemi ose . Megjithatë, duke përdorur pronën (9), marrim .

Që dhe , pastaj nga barazia vijon ekuacioni ose .

Shembulli 4 Gjeni nëse.

Zgjidhje.Me formulën (5) kemi

Megjithatë, duke përdorur teoremën, mund të shkruhet

Nga këtu dhe nga formula (11) marrim .

Shembulli 5. Jepet: . Gjej .

Zgjidhje. Që atëherë. Megjithatë, prandaj.

Shembulli 6 Le , dhe . Gjej .

Zgjidhje. Duke përdorur formulën (9), marrim . Prandaj, nëse , atëherë ose .

Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh

Duke zgjidhur cilin, marrim dhe .

Rrënja natyrore e ekuacionitështë .

Shembulli 7 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Meqenëse sipas formulës (3) kemi atë , atëherë sistemi i ekuacioneve rrjedh nga gjendja e problemit

Nëse e zëvendësojmë shprehjennë ekuacionin e dytë të sistemit, atëherë marrim ose .

Rrënjët e ekuacionit kuadratik janë dhe .

Le të shqyrtojmë dy raste.

1. Le , atëherë . Që dhe atëherë.

Në këtë rast, sipas formulës (6), kemi

2. Nëse , atëherë , dhe

Përgjigje: dhe.

Shembulli 8 Dihet se dhe Gjej .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5) dhe gjendjen e shembullit, shkruajmë dhe .

Kjo nënkupton sistemin e ekuacioneve

Nëse e shumëzojmë ekuacionin e parë të sistemit me 2, dhe pastaj e shtojmë atë në ekuacionin e dytë, marrim

Sipas formulës (9), kemi. Në lidhje me këtë, nga (12) vijon ose .

Që dhe atëherë.

Përgjigje:.

Shembulli 9 Gjeni nëse dhe .

Zgjidhje. Që , dhe sipas kushtit , atëherë ose .

Nga formula (5) dihet, çfarë . Që atëherë.

Rrjedhimisht, këtu kemi një sistem ekuacionesh lineare

Nga këtu marrim dhe . Duke marrë parasysh formulën (8), shkruajmë .

Shembulli 10 Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Nga ekuacioni i dhënë del se . Le të supozojmë se , , dhe . Në këtë rast .

Sipas formulës (1), mund të shkruajmë ose .

Meqenëse, ekuacioni (13) ka një rrënjë unike të përshtatshme.

Shembulli 11. Gjeni vlerën maksimale me kusht që dhe .

Zgjidhje. Meqenëse , atëherë progresioni i konsideruar aritmetik po zvogëlohet. Në këtë drejtim, shprehja merr një vlerë maksimale kur është numri i termit minimal pozitiv të progresionit.

Ne përdorim formulën (1) dhe faktin, e cila dhe . Pastaj e marrim atë ose .

Sepse, atëherë ose . Megjithatë, në këtë pabarazinumri më i madh natyror, kjo është arsyeja pse.

Nëse vlerat dhe zëvendësohen në formulën (6), atëherë marrim .

Përgjigje:.

Shembulli 12. Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë dyshifrorë që, kur pjesëtohet me 6, kanë një mbetje prej 5.

Zgjidhje. Shënoni me bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë me dy vlera, d.m.th. . Më pas, ne ndërtojmë një nëngrup të përbërë nga ata elementë (numra) të grupit që, kur ndahet me numrin 6, japin një mbetje prej 5.

Lehtë për t'u instaluar, çfarë . padyshim, që elementet e grupitformojnë një progresion aritmetik, në të cilën dhe .

Për të përcaktuar kardinalitetin (numrin e elementeve) të grupit, supozojmë se . Meqenëse dhe , atëherë formula (1) nënkupton ose . Duke marrë parasysh formulën (5), marrim .

Shembujt e mësipërm të zgjidhjes së problemeve nuk mund të pretendojnë aspak se janë shterues. Ky artikull është shkruar në bazë të një analize të metodave moderne për zgjidhjen e problemeve tipike në një temë të caktuar. Për një studim më të thellë të metodave për zgjidhjen e problemeve që lidhen me progresionin aritmetik, këshillohet t'i referoheni listës së literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e detyrave në matematikë për aplikantët në universitetet teknike / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Bota dhe arsimi, 2013. - 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 f.

3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në detyra dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. - 208 f.

A keni ndonjë pyetje?

Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(tetë\); \(njëmbëdhjetë\); \(14\)… është një progresion aritmetik, sepse çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) mund të jetë gjithashtu një numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(dhjetë\); \(katër\); \(-2\); \(-8\)… ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi shënohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen ai anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si progresioni aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit sipas radhës.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve në një progresion aritmetik

Në parim, informacioni i mësipërm është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem në një progresion aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Janë dhënë disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(...5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të shënuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme të progresionit aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme të progresionit aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element tjetër në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm (ndryshimi e progresionit).

Megjithatë, ndonjëherë ka situata kur është shumë e papërshtatshme për të zgjidhur "në ballë". Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë, nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtën \(b_(386)\). Çfarë është ajo, ne \ (385 \) herë për të shtuar katër? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit, duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Numërimi është konfuz...

Prandaj, në raste të tilla, ata nuk zgjidhin "në ballë", por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe kryesoret janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën \(n\) të termave të parë.

Formula për anëtarin \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është anëtari i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) është një anëtar i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt të paktën elementin e treqindtë, madje edhe të miliontë, duke ditur vetëm ndryshimin e parë dhe të progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) është termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë është: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar \(n\) e elementeve të parë;
\(a_1\) është termi i parë që përmblidhet;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) - numri i elementeve në shumë.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15,5\); \(katërmbëdhjetë\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani keni të gjithë informacionin që ju nevojitet për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar problemet në të cilat duhet jo vetëm të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë, kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik jepet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th deri në \(42\) duke përfshirë elementin.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S=1683\).

Për një progresion aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi shqyrtuar në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.

Cili është thelbi i formulës?

Kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë ME NUMRIN E TIJ" n" .

Sigurisht, ju duhet të dini termin e parë a 1 dhe ndryshimi i progresionit d, mirë, pa këto parametra, nuk mund të shkruani një progresion specifik.

Nuk mjafton të mësosh përmendësh (ose të mashtrosh) këtë formulë. Është e nevojshme të asimilohet thelbi i saj dhe të zbatohet formula në probleme të ndryshme. Po, dhe mos harroni në kohën e duhur, po ...) Si mos harro- Nuk e di. Por si të kujtohet Nëse është e nevojshme, unë do t'ju jap një sugjerim. Për ata që e zotërojnë mësimin deri në fund.)

Pra, le të merremi me formulën e anëtarit n të një progresion aritmetik.

Çfarë është një formulë në përgjithësi - ne imagjinojmë.) Çfarë është një progresion aritmetik, një numër anëtarësh, një ndryshim progresion - është thënë qartë në mësimin e mëparshëm. Hidhini një sy nëse nuk e keni lexuar. Gjithçka është e thjeshtë atje. Mbetet për të kuptuar se çfarë anëtari i nëntë.

Progresioni në përgjithësi mund të shkruhet si një seri numrash:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tregon termin e parë të një progresion aritmetik, a 3- anëtari i tretë a 4- e katërta, e kështu me radhë. Nëse na intereson mandati i pestë, le të themi se po punojmë a 5, nëse njëqind e njëzet - nga një 120.

Si të përcaktohet në përgjithësi ndonjë anëtar i një progresion aritmetik, s ndonjë numri? Shume e thjeshte! Si kjo:

a n

Kjo është ajo që është Anëtari n i një progresion aritmetik. Nën shkronjën n fshihen të gjithë numrat e anëtarëve: 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë.

Dhe çfarë na jep një rekord i tillë? Thjesht mendoni, në vend të një numri, ata shkruan një letër ...

Ky shënim na jep një mjet të fuqishëm për të punuar me progresionet aritmetike. Duke përdorur shënimin a n, ne mund ta gjejmë shpejt ndonjë anëtar ndonjë progresion aritmetik. Dhe një mori detyrash për t'u zgjidhur në progresion. Do të shihni më tej.

Në formulën e anëtarit të n-të të një progresion aritmetik:

a 1- anëtari i parë i progresionit aritmetik;

n- numri i anëtarit.

Formula lidh parametrat kryesorë të çdo progresioni: a n ; a 1; d dhe n. Rreth këtyre parametrave, të gjitha enigmat rrotullohen në progresion.

Formula e termit të n-të mund të përdoret gjithashtu për të shkruar një progresion specifik. Për shembull, në problem mund të thuhet se përparimi jepet nga kushti:

a n = 5 + (n-1) 2.

Një problem i tillë madje mund të ngatërrojë ... Nuk ka asnjë seri, asnjë ndryshim ... Por, duke krahasuar gjendjen me formulën, është e lehtë të kuptosh se në këtë progresion a 1 \u003d 5 dhe d \u003d 2.

Dhe mund të jetë edhe më i zemëruar!) Nëse marrim të njëjtin kusht: a n = 5 + (n-1) 2, po, hapni kllapat dhe jepni të ngjashme? Ne marrim një formulë të re:

an = 3 + 2n.

atë Vetëm jo e përgjithshme, por për një progresion specifik. Këtu qëndron gracka. Disa njerëz mendojnë se mandati i parë është tre. Edhe pse në realitet anëtari i parë është një pesë ... Pak më poshtë do të punojmë me një formulë të tillë të modifikuar.

Në detyrat për përparim, ekziston një shënim tjetër - një n+1. Ky është, ju me mend, termi "n plus i pari" i progresionit. Kuptimi i tij është i thjeshtë dhe i padëmshëm.) Ky është një anëtar i progresionit, numri i të cilit është më i madh se numri n nga një. Për shembull, nëse në ndonjë problem marrim për a n mandati i pestë, atëherë një n+1 do të jetë anëtari i gjashtë. etj.

Më shpesh emërtimi një n+1 ndodh në formula rekursive. Mos kini frikë nga kjo fjalë e tmerrshme!) Kjo është vetëm një mënyrë për të shprehur një term të një progresion aritmetik përmes të mëparshmit. Supozoni se na është dhënë një progresion aritmetik në këtë formë, duke përdorur formulën e përsëritur:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

E katërta - deri në të tretën, e pesta - deri në të katërtin, e kështu me radhë. Dhe si të numëroni menjëherë, thuani termin e njëzetë, një 20? Por në asnjë mënyrë!) Ndërsa mandati i 19-të nuk dihet, i 20-ti nuk mund të llogaritet. Ky është ndryshimi themelor midis formulës rekursive dhe formulës së termit të n-të. Rekursive funksionon vetëm përmes e mëparshme termi, dhe formula e mandatit të n-të - përmes i pari dhe lejon menjëherë gjeni ndonjë anëtar me numrin e tij. Duke mos llogaritur të gjithë serinë e numrave në rend.

Në një progresion aritmetik, një formulë rekursive mund të shndërrohet lehtësisht në një të rregullt. Numëroni një çift termash të njëpasnjëshëm, llogarisni ndryshimin d, gjeni, nëse është e nevojshme, termin e parë a 1, shkruani formulën në formën e zakonshme dhe punoni me të. Në GIA, detyra të tilla shpesh gjenden.

Zbatimi i formulës së anëtarit të n-të të një progresion aritmetik.

Së pari, le të shohim zbatimin e drejtpërdrejtë të formulës. Në fund të mësimit të mëparshëm kishte një problem:

Jepet një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.

Ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formulë, thjesht bazuar në kuptimin e progresionit aritmetik. Shtoni, po shtoni ... Një orë ose dy.)

Dhe sipas formulës, zgjidhja do të zgjasë më pak se një minutë. Mund ta caktoni.) Ne vendosim.

Kushtet ofrojnë të gjitha të dhënat për përdorimin e formulës: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Mbetet për t'u parë se çfarë n. Nuk ka problem! Duhet të gjejmë a 121. Këtu shkruajmë:

Ju lutemi kushtoni vëmendje! Në vend të një indeksi n u shfaq një numër specifik: 121. që është mjaft logjike.) Na intereson anëtari i progresionit aritmetik. numri njëqind e njëzet e një. Kjo do të jetë e jona n.Është ky kuptimi n= 121 ne do të zëvendësojmë më tej në formulë, në kllapa. Zëvendësoni të gjithë numrat në formulë dhe llogarisni:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Kjo është gjithçka që ka për të. Po aq shpejt mund të gjehej anëtari i pesëqind e dhjetë, dhe njëmijë e tretë, çdo. Ne vendosëm në vend n numri i dëshiruar në indeksin e shkronjës " a" dhe në kllapa, dhe ne e konsiderojmë.

Më lejoni t'ju kujtoj thelbin: kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë termi i një progresioni aritmetik ME NUMRIN E TIJ" n" .

Le ta zgjidhim problemin më zgjuar. Le të themi se kemi problemin e mëposhtëm:

Gjeni termin e parë të progresionit aritmetik (a n) nëse a 17 =-2; d=-0,5.

Nëse keni ndonjë vështirësi, unë do t'ju sugjeroj hapin e parë. Shkruani formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik! Po Po. Shkruani me dorë, pikërisht në fletoren tuaj:

Dhe tani, duke parë shkronjat e formulës, kuptojmë se çfarë të dhënash kemi dhe çfarë mungon? Në dispozicion d=-0.5, ka një anëtar të shtatëmbëdhjetë ... Gjithçka? Nëse mendoni se kjo është e gjitha, atëherë nuk mund ta zgjidhni problemin, po ...

Kemi edhe një numër n! Në gjendje a 17 =-2 i fshehur dy opsione. Kjo është edhe vlera e anëtarit të shtatëmbëdhjetë (-2) dhe numri i tij (17). Ato. n=17. Kjo "gjë e vogël" shpesh rrëshqet nga koka, dhe pa të, (pa "gjënë e vogël", jo kokën!) Problemi nuk mund të zgjidhet. Edhe pse ... dhe pa kokë gjithashtu.)

Tani ne thjesht mund t'i zëvendësojmë marrëzi të dhënat tona në formulën:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh po, një 17 ne e dimë se është -2. Mirë, le ta vendosim:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Kjo, në thelb, është e gjitha. Mbetet të shprehim termin e parë të progresionit aritmetik nga formula dhe të llogarisim. Ju merrni përgjigjen: a 1 = 6.

Një teknikë e tillë - shkrimi i një formule dhe thjesht zëvendësimi i të dhënave të njohura - ndihmon shumë në detyra të thjeshta. Epo, sigurisht, duhet të jeni në gjendje të shprehni një variabël nga një formulë, por çfarë të bëni!? Pa këtë aftësi, matematika nuk mund të studiohet fare ...

Një problem tjetër popullor:

Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik (a n) nëse a 1 =2; a 15 = 12.

Cfare po bejme? Do të habiteni, ne shkruajmë formulën!)

Konsideroni atë që dimë: a 1 = 2; a 15 = 12; dhe (theksim i veçantë!) n=15. Mos ngurroni të zëvendësoni në formulën:

12=2 + (15-1)d

Le të bëjmë aritmetikën.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Kjo është përgjigja e saktë.

Pra, detyra a n, a 1 dhe d vendosi. Mbetet për të mësuar se si të gjeni numrin:

Numri 99 është anëtar i një progresion aritmetik (a n), ku a 1 =12; d=3. Gjeni numrin e këtij anëtari.

Ne i zëvendësojmë sasitë e njohura në formulën e termit të n-të:

a n = 12 + (n-1) 3

Në shikim të parë, ka dy sasi të panjohura këtu: një n dhe n. Por a nështë ndonjë anëtar i progresionit me numrin n... Dhe ky anëtar i progresionit ne e njohim! Është 99. Nuk e dimë numrin e tij. n, kështu që duhet gjetur edhe ky numër. Zëvendësoni termin e progresionit 99 në formulën:

99 = 12 + (n-1) 3

Ne shprehemi nga formula n, ne mendojmë. Ne marrim përgjigjen: n=30.

Dhe tani një problem për të njëjtën temë, por më kreativ):

Përcaktoni nëse numri 117 do të jetë anëtar i një progresion aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Le të shkruajmë formulën përsëri. Çfarë, nuk ka parametra? Hm... Pse na duhen sytë?) A e shohim anëtarin e parë të progresionit? Ne shohim. Kjo është -3.6. Ju mund të shkruani me siguri: a 1 \u003d -3.6. Diferenca d mund të përcaktohet nga seria? Është e lehtë nëse e dini se cili është ndryshimi i një progresion aritmetik:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Po, bëmë gjënë më të thjeshtë. Mbetet të merremi me një numër të panjohur n dhe një numër i pakuptueshëm 117. Në problemin e mëparshëm, të paktën dihej se ishte termi i progresionit që jepej. Por këtu as që e dimë se ... Si të jesh!? Epo, si të jesh, si të jesh ... Ndizni aftësitë tuaja krijuese!)

ne supozojmë se 117 është, në fund të fundit, një anëtar i përparimit tonë. Me një numër të panjohur n. Dhe, ashtu si në problemin e mëparshëm, le të përpiqemi të gjejmë këtë numër. Ato. shkruajmë formulën (po-po!)) dhe zëvendësojmë numrat tanë:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Përsëri shprehemi nga formulan, numërojmë dhe marrim:

Oops! Numri doli thyesore! Njëqind e një e gjysmë. Dhe numrat thyesorë në progresione nuk mund të jetë.Çfarë përfundimi nxjerrim? Po! Numri 117 nuk eshte anëtar i përparimit tonë. Është diku midis anëtarit të 101-të dhe 102-të. Nëse numri doli i natyrshëm, d.m.th. numër i plotë pozitiv, atëherë numri do të ishte anëtar i progresionit me numrin e gjetur. Dhe në rastin tonë, përgjigja e problemit do të jetë: nr.

Detyra e bazuar në një version real të GIA:

Progresioni aritmetik jepet nga kushti:

a n \u003d -4 + 6,8n

Gjeni termat e parë dhe të dhjetë të progresionit.

Këtu progresi është vendosur në një mënyrë të pazakontë. Një lloj formule ... Ndodh.) Sidoqoftë, kjo formulë (siç kam shkruar më lart) - edhe formula e anëtarit n të një progresion aritmetik! Ajo gjithashtu lejon gjeni ndonjë anëtar të progresionit sipas numrit të tij.

Ne jemi në kërkim të anëtarit të parë. Ai që mendon. se termi i parë është minus katër, është gabim fatal!) Sepse formula në problem është modifikuar. Termi i parë i një progresion aritmetik në të i fshehur. Asgjë, do ta gjejmë tani.)

Ashtu si në detyrat e mëparshme, ne zëvendësojmë n=1 në këtë formulë:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Këtu! Termi i parë është 2.8, jo -4!

Në mënyrë të ngjashme, ne jemi duke kërkuar për termin e dhjetë:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Kjo është gjithçka që ka për të.

Dhe tani, për ata që kanë lexuar deri në këto rreshta, bonusi i premtuar.)

Supozoni, në një situatë të vështirë luftarake të GIA ose Provimit të Unifikuar të Shtetit, ju keni harruar formulën e dobishme të anëtarit të n-të të një progresion aritmetik. Diçka të vjen në mendje, por disi e pasigurt... Nëse n atje, ose n+1, ose n-1... Si të jesh!?

Qetë! Kjo formulë është e lehtë për t'u nxjerrë. Jo shumë strikte, por definitivisht mjafton për besim dhe vendim të duhur!) Për përfundimin, mjafton të mbani mend kuptimin elementar të progresionit aritmetik dhe të keni disa minuta kohë. Thjesht duhet të vizatoni një foto. Për qartësi.

Vizatojmë një bosht numerik dhe shënojmë të parin mbi të. e dyta, e treta etj. anëtarët. Dhe vini re ndryshimin d ndërmjet anëtarëve. Si kjo:

Ne shikojmë figurën dhe mendojmë: me çfarë është termi i dytë? Së dyti një d:

a 2 =a 1 + 1 d

Cili është termi i tretë? Së treti termi është i barabartë me termin e parë plus dy d.

a 3 =a 1 + 2 d

E kuptoni? Nuk i vendos disa fjalë me shkronja të zeza kot. Mirë, një hap më shumë.)

Cili është termi i katërt? Së katërti termi është i barabartë me termin e parë plus tre d.

a 4 =a 1 + 3 d

Është koha për të kuptuar se numri i boshllëqeve, d.m.th. d, gjithmonë një më pak se numri i anëtarit që kërkoni n. Domethënë deri në numrin n, numri i boshllëqeve do të jetë n-1. Pra, formula do të jetë (pa opsione!):

Në përgjithësi, fotografitë vizuale janë shumë të dobishme në zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë. Mos i lini pas dore fotot. Por nëse është e vështirë të vizatoni një figurë, atëherë ... vetëm një formulë!) Për më tepër, formula e termit të n-të ju lejon të lidhni të gjithë arsenalin e fuqishëm të matematikës me zgjidhjen - ekuacione, pabarazi, sisteme, etj. Ju nuk mund të vendosni një foto në një ekuacion ...

Detyrat për vendim të pavarur.

Për ngrohje:

1. Në progresionin aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Gjeni një 3.

Këshillë: sipas figurës, problemi zgjidhet në 20 sekonda ... Sipas formulës, rezulton më e vështirë. Por për zotërimin e formulës është më e dobishme.) Në seksionin 555, ky problem zgjidhet si nga figura, ashtu edhe nga formula. Ndjeje ndryshimin!)

Dhe kjo nuk është më një ngrohje.)

2. Në progresionin aritmetik (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Gjeni një 3.

Çfarë, ngurrimi për të nxjerrë një foto?) Akoma! Është më mirë në formulë, po...

3. Progresioni aritmetik jepet nga kushti:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni termin e njëqind e njëzet e pestë të këtij progresioni.

Në këtë detyrë, progresioni jepet në mënyrë të përsëritur. Por duke numëruar deri në mandatin e njëqind e njëzet e pestë... Jo të gjithë mund ta bëjnë një sukses të tillë.) Por formula e mandatit të n-të është në fuqinë e secilit!

4. Jepet një progresion aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Gjeni numrin e termit më të vogël pozitiv të progresionit.

5. Sipas kushtit të detyrës 4, gjeni shumën e anëtarëve më të vegjël pozitivë dhe më të mëdhenj negativë të progresionit.

6. Prodhimi i termave të pestë dhe të dymbëdhjetë të një progresioni aritmetik në rritje është -2,5, dhe shuma e anëtarëve të tretë dhe të njëmbëdhjetë është zero. Gjeni një 14.

Jo detyra më e lehtë, po ...) Këtu metoda "në gishta" nuk do të funksionojë. Ju duhet të shkruani formula dhe të zgjidhni ekuacione.

Përgjigjet (në rrëmujë):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ka ndodhur? Eshte mire!)

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Nga rruga, në detyrën e fundit ka një pikë delikate. Do të kërkohet vëmendje gjatë leximit të problemit. Dhe logjika.

Zgjidhja e të gjitha këtyre problemeve diskutohet në detaje në seksionin 555. Dhe elementi i fantazisë për të katërtin, dhe momenti delikat për të gjashtën, dhe qasjet e përgjithshme për zgjidhjen e çdo problemi për formulën e termit të nëntë - gjithçka është pikturuar. Unë rekomandoj.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.

Objektivat e mësimit:

• zgjerimi dhe thellimi i ideve të nxënësve për detyrat e zgjidhura duke përdorur progresionin aritmetik; organizimi i veprimtarisë së kërkimit të nxënësve në nxjerrjen e formulës për shumën e n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik;
• zhvillimi i aftësive për të përvetësuar në mënyrë të pavarur njohuri të reja, përdorimin e njohurive të fituara tashmë për të arritur detyrën;
• zhvillimi i dëshirës dhe nevojës për të përgjithësuar faktet e marra, zhvillimi i pavarësisë.

Detyrat:

• të përgjithësojë dhe të sistemojë njohuritë ekzistuese për temën “Progresioni aritmetik”;
• nxjerr formulat për llogaritjen e shumës së n anëtarëve të parë të një progresion aritmetik;
• të mësojë se si të zbatohen formulat e marra në zgjidhjen e problemeve të ndryshme;
• tërheq vëmendjen e nxënësve për procedurën e gjetjes së vlerës së një shprehjeje numerike.

Pajisjet:

• karta me detyra për punë në grupe dhe dyshe;
• letër vlerësimi;
• prezantimi"Progresioni aritmetik".

I. Aktualizimi i njohurive bazë.

1. Punë e pavarur në dyshe.

Opsioni 1:

Përcaktoni një progresion aritmetik. Shkruani një formulë rekursive që përcakton një progresion aritmetik. Jepni një shembull të një progresion aritmetik dhe tregoni ndryshimin e tij.

Opsioni i 2-të:

Shkruani formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik. Gjeni termin e 100-të të një progresion aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Në këtë kohë, dy studentë në anën e pasme të tabelës po përgatisin përgjigje për të njëjtat pyetje.
Nxënësit vlerësojnë punën e partnerit duke e krahasuar me tabelën. (Dorëzohen fletëpalosje me përgjigje).

2. Momenti i lojës.

Ushtrimi 1.

Mësues. Unë konceptova njëfarë progresion aritmetik. Më bëni vetëm dy pyetje në mënyrë që pas përgjigjeve të mund të emëroni shpejt anëtarin e 7-të të këtij progresi. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pyetje nga studentët.

1. Cili është termi i gjashtë i progresionit dhe cili është ndryshimi?
2. Cili është termi i tetë i progresionit dhe cili është ndryshimi?

Nëse nuk ka më pyetje, atëherë mësuesi mund t'i stimulojë ato - një "ndalim" në d (ndryshim), domethënë, nuk lejohet të pyesni se cili është ndryshimi. Ju mund të bëni pyetje: cili është termi i 6-të i progresionit dhe cili është termi i 8-të i progresionit?

Detyra 2.

Janë 20 numra të shkruar në tabelë: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mësuesi qëndron me shpinën në dërrasën e zezë. Nxënësit thonë numrin e numrit dhe mësuesi menjëherë telefonon vetë numrin. Shpjegoni si mund ta bëj?

Mësuesi/ja kujton formulën e semestrit të n-të a n \u003d 3n - 2 dhe, duke zëvendësuar vlerat e dhëna të n, gjen vlerat përkatëse a n .

II. Deklarata e detyrës edukative.

Unë propozoj të zgjidhet një problem i vjetër që daton në mijëvjeçarin e II para Krishtit, i gjetur në papiruset egjiptiane.

Një detyrë:“Të thuhet: ndani 10 masa elbi në 10 veta, diferenca midis secilit dhe fqinjit të tij është 1/8 e masës.”

• Si lidhet ky problem me temën e progresionit aritmetik? (Çdo person tjetër merr 1/8 e masës më shumë, pra diferenca është d=1/8, 10 persona, pra n=10.)
• Çfarë mendoni se do të thotë numri 10? (Shuma e të gjithë anëtarëve të progresionit.)
• Çfarë tjetër duhet të dini për ta bërë të lehtë dhe të thjeshtë ndarjen e elbit sipas gjendjes së problemit? (Termi i parë i progresionit.)

Objektivi i mësimit- marrja e varësisë së shumës së termave të progresionit nga numri i tyre, termi i parë dhe ndryshimi dhe kontrollimi nëse problemi ishte zgjidhur saktë në kohët e lashta.

Para se të nxjerrim formulën, le të shohim se si egjiptianët e lashtë e zgjidhën problemin.

Dhe ata e zgjidhën kështu:

1) 10 masa: 10 = 1 masë - pjesa mesatare;
2) 1 masë ∙ = 2 masa - dyfishuar mesatare ndajnë.
dyfishuar mesatare pjesa është shuma e aksioneve të personit të 5-të dhe të 6-të.
3) 2 masa - 1/8 masë = 1 7/8 masa - dyfishi i pjesës së personit të pestë.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - pjesa e të pestës; dhe kështu me radhë, ju mund të gjeni pjesën e çdo personi të mëparshëm dhe të mëpasshëm.

Ne marrim sekuencën:

III. Zgjidhja e detyrës.

1. Punë në grupe

Grupi 1: Gjeni shumën e 20 numrave natyrorë të njëpasnjëshëm: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Në përgjithësi

Grupi II: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 deri në 100 (Legjenda e Gausit të Vogël).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

konkluzioni:

Grupi III: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 në 21.

Zgjidhja: 1+21=2+20=3+19=4+18…

konkluzioni:

Grupi IV: Gjeni shumën e numrave natyrorë nga 1 deri në 101.

konkluzioni:

Kjo metodë e zgjidhjes së problemeve të konsideruara quhet "metoda e Gausit".

2. Secili grup paraqet zgjidhjen e problemit në tabelë.

3. Përgjithësimi i zgjidhjeve të propozuara për një progresion aritmetik arbitrar:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Këtë shumë e gjejmë duke argumentuar në mënyrë të ngjashme:

4. A e kemi zgjidhur detyrën?(Po.)

IV. Kuptimi primar dhe zbatimi i formulave të fituara në zgjidhjen e problemave.

1. Kontrollimi i zgjidhjes së një problemi të vjetër me formulë.

2. Zbatimi i formulës në zgjidhjen e problemeve të ndryshme.

3. Ushtrime për formimin e aftësisë për të zbatuar formulën në zgjidhjen e problemave.

A) Nr. 613

dhënë :( dhe n) - progresion aritmetik;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Gjej: S 1500

Zgjidhja: , dhe 1 = 1, dhe 1500 = 1500,

B) Duke pasur parasysh: ( dhe n) - progresion aritmetik;
(dhe n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Gjej: n
Zgjidhja:

V. Punë e pavarur me verifikim reciprok.

Denisi shkoi të punonte si korrier. Në muajin e parë, paga e tij ishte 200 rubla, në çdo muaj pasues u rrit me 30 rubla. Sa fitoi ai në një vit?

dhënë :( dhe n) - progresion aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Gjej: S 12
Zgjidhja:

Përgjigje: Denisi mori 4380 rubla për vit.

VI. Udhëzim për detyra shtëpie.

1. fq 4.3 - mësoni nxjerrjen e formulës.
2. №№ 585, 623 .
3. Hartoni një problem që do të zgjidhej duke përdorur formulën për shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik.

VII. Duke përmbledhur mësimin.

1. Fletë pikësh

2. Vazhdo fjalitë

• Sot në klasë mësova...
• Formulat e mësuara...
• Unë mendoj se…

3. A mund ta gjeni shumën e numrave nga 1 deri në 500? Çfarë metode do të përdorni për të zgjidhur këtë problem?

Bibliografi.

1. Algjebra, klasa e 9-të. Libër mësuesi për institucionet arsimore. Ed. G.V. Dorofeeva. Moska: Iluminizmi, 2009.