Разделы сайта
Выбор редакции:
- Что такое кадастровые работы: что включают в себя, виды, методика и особенности Земельно кадастровые работы и их содержание
- Как оценивают стоимость квартиры?
- Как оценить акции предприятия
- Как космонавты передвигаются в открытом космосе?
- Как выделить кислород и водород из воды электролизом Температура разделения воды на водород и кислород
- Жителей Новороссийска удивила огромная светящаяся точка на небе
- Конкурс «Классика образования
- Таро гороскоп для львов на декабрь
- Карта движения морских судов онлайн Маринер трафик азовское море
- Супертанкер "крым" Кто пришел на смену
Реклама
Виды функций и их свойства. Графики и основные свойства элементарных функций |
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y. Обозначение: где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x)) Способы задания функции.
Основные свойства функции. 1. Четность и нечетность Функция называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси 0y Функция называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 2.Периодичность Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) . График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. 3. Монотонность (возрастание, убывание) Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) . 4. Экстремумы Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max). Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции. Х max – точка максимума Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min). Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции. X min – точка минимума X min , Х max – точки экстремума 5. Нули функции Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0. Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x). Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Примеры. 1. Найти область определения функции. Решение: область определения функции находится из условия Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения. Формулы со степенной функциейНа области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы: Свойства степенных функций и их графикиСтепенная функция с показателем равным нулю, p = 0Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице: Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций. График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... . Область определения:
-∞ < x < ∞
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже. График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... . Область определения:
-∞ < x < ∞
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде: График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... . Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... . Область определения:
x ≠ 0
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... . Область определения:
x ≠ 0
Степенная функция с рациональным (дробным) показателемРассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей. Знаменатель дробного показателя - нечетныйПусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах. Показатель p отрицательный, p < 0Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: . Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
x ≠ 0
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
x ≠ 0
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < +∞
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < +∞
Показатель p больше единицы, p > 1График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < ∞
Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < ∞
Знаменатель дробного показателя - четныйПусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел). Степенная функция с иррациональным показателемРассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным. y = x p при различных значениях показателя p . Степенная функция с отрицательным показателем p < 0Область определения:
x > 0
Степенная функция с положительным показателем p > 0Показатель меньше единицы 0 < p < 1Область определения:
x ≥ 0
Показатель больше единицы p > 1Область определения:
x ≥ 0
Использованная литература: Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные. Страницы со справочным материалом по элементарным функциямКлассификация элементарных функцийАлгебраическая функция
- это функция, которая удовлетворяет уравнению: Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции. Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду: Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду Иррациональная функция
- это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции. Обзор основных элементарных функцийВсе элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида: Степенная функция : Трансцендентные функцииПоказательная функция : Экспонента, е в степени х : Тригонометрические функции : Обратные тригонометрические функции : Нули функции
Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох. Четность функции
Нечетность функции
Возрастание функции
Убывание функции
Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции Локальный максимум
Локальный минимум
Периодичность функции
Промежутки знакопостоянства
Непрерывность функции
Точки разрыва
Общая схема для построения графиков функций 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат. 3. Исследовать функцию на четность или нечетность. 4. Исследовать функцию на периодичность. 5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции. 6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции. 7. Найти асимптоты функции. 8. По результатам исследования построить график. Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x 3 – 3x 1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞). 2) Найдем точки пересечения с осями координат: с осью ОХ: решим уравнение x 3 – 3x = 0 с осью ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0 3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной: y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x) Отсюда следует, что функция является нечетной. 4) Функция непериодична. 5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x 2 - 3. Критические точки: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1. y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2 y(1) = 1 3 – 3*1 = -2 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: y’’ = 6x Критические точки: 6x = 0, x = 0. y(0) = 0 3 – 3*0 = 0 7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет. 8) По результатам исследования построим график функции. Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства. Разбираем свойства функции на примереОбластью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5]. Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3]. 1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю. Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции. //т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями. 2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные. Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции. В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3). 3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает. С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает. Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у. Функцию f называют убывающей на некотором промежутке , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей . Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей . Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно. Пример 2. Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей? Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1 < x2., например х1=1, х2=7 |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Как оценивают стоимость квартиры?
- Как оценить акции предприятия
- Как космонавты передвигаются в открытом космосе?
- Как выделить кислород и водород из воды электролизом Температура разделения воды на водород и кислород
- Жителей Новороссийска удивила огромная светящаяся точка на небе
- Конкурс «Классика образования
- Таро гороскоп для львов на декабрь
- Карта движения морских судов онлайн Маринер трафик азовское море
- Супертанкер "крым" Кто пришел на смену
- Бухучет инфо 1с банковские выписки