Разделы сайта
Выбор редакции:
- Приметы: к чему чешется или болит грудь?
- Списание компьютерной техники в бухгалтерском учете
- Как заполнить декларацию по налогу на прибыль Заполнение приложение 4 к листу 02 декларации по налогу на прибыль
- Может ли главный бухгалтер выполнять обязанности кассира?
- Можно ли есть трутовик и как защитить от него деревья Трутовик чешуйчатый как солить
- Гусь дикий: описание, фото
- Рецепты приготовления вкусных блюд из куропатки
- Облепиха: полезные свойства ягод, облепихового масла, веток и листьев
- Декарис – особенности приема, побочные эффекты, отзывы врачей Декарис от рака
- Чем бады отличаются от лекарств В чем разница между бад и лекарством
Реклама
Свойства функции y х. Графики и основные свойства элементарных функций |
Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график . В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций . Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики . Графики для чайников? Можно сказать и так. По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление : Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта! И сразу начинаем: Как правильно построить координатные оси?На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей. Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей . Чертежи бывают двухмерными и трехмерными. Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат : 1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс , а ось – осью ординат . Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво . Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло. 2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси . 3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички . При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям . Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку. Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа . Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка. Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях. К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым. Дополнительно : вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства . Трехмерный случай Здесь почти всё так же. 1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов. 2) Подписываем оси. 3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям . Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше) . С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат. При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее. Графики и основные свойства элементарных функцийЛинейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую . Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. Пример 1 Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль. Если , то Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. Если , то При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:
Две точки найдены, выполним чертеж:
Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку. 2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс». 3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1». Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или . Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей. Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости . График квадратичной, кубической функции, график многочленаПарабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай: Вспоминаем некоторые свойства функции . Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»: Таким образом, вершина находится в точке Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной , но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял. В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы: Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой. Выполним чертеж:
Для квадратичной функции () справедливо следующее: Если , то ветви параболы направлены вверх . Если , то ветви параболы направлены вниз . Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола . Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:
График функцииОн представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:
В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при . Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой . Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу . Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности. Функция является нечётной , а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: . График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы . Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше). Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях . Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков . Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело: Выполним чертеж:
Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола . График показательной функцииВ данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента. Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит: График функции пока оставим в покое, о нём позже. Основные свойства функции : Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д. Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью. График логарифмической функцииРассмотрим функцию с натуральным логарифмом . Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам. Основные свойства функции : Область определения : Область значений: . Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность. Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма : . Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график. Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость. В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции . Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому. Графики тригонометрических функцийС чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса Построим график функции Данная линия называется синусоидой . Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит. Основные свойства функции : Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика. Область определения : , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса. Область значений: . Функция является ограниченной
: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке . |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Списание компьютерной техники в бухгалтерском учете
- Как заполнить декларацию по налогу на прибыль Заполнение приложение 4 к листу 02 декларации по налогу на прибыль
- Может ли главный бухгалтер выполнять обязанности кассира?
- Можно ли есть трутовик и как защитить от него деревья Трутовик чешуйчатый как солить
- Гусь дикий: описание, фото
- Рецепты приготовления вкусных блюд из куропатки
- Облепиха: полезные свойства ягод, облепихового масла, веток и листьев
- Декарис – особенности приема, побочные эффекты, отзывы врачей Декарис от рака
- Чем бады отличаются от лекарств В чем разница между бад и лекарством
- Снотворное Донормил: инструкция по применению