Разделы сайта
Выбор редакции:
- Клаус Джоул Пьяный лепрекон
- Критерии выбора системы электронного документооборота
- Константин Анохин: Мозг и разум Учёные и художники: глаза в глаза
- Проект по внеклассному литературному чтению "весна глазами поэтов, писателей, художников"
- Что относится к трансжирам
- Бурсит тазобедренного сустава лечение препараты Что такое бурсит тазобедренного сустава
- Сонник: к чему снится Покойник
- Журнал кассира операциониста и его заполнение Журнал кассира операциониста титульный лист
- Рецепт: Татарские салаты
- Морской окунь, запеченный в фольге
Реклама
Математическое ожидание что показывает. Примеры решения задач |
Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех? Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей Вероятности , где Искомая вероятность Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян. Решение. Вычислить
искомую вероятность , где Из условия задачи . Тогда . Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков? Решение. Применение
локальной теоремы Лапласа из-за малой
вероятности , где . Эта формула
используется при По условию задачи
Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян. Решение. Если
вероятность наступления события А
в каждом из п
испытаний постоянна и равна р
,
то вероятность , где , Функция По условию задачи
.
По приведенным выше формулам находим
Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х :
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
2) Дисперсия Эта величина
характеризует среднее ожидаемое значение
квадрата отклонения Х
от Дисперсию Для вычисления
3) Для характеристики
рассеяния возможных значений случайной
величины вокруг ее среднего значения
вводится среднее квадратическое
отклонение . Из этой формулы
имеем: Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения Найти: 1)
дифференциальную функцию распределения
Решение. 1)
Дифференциальной функцией распределения
. Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид: 2) Если непрерывная
случайная величина Х
задана функцией Так как функция
. 3) Дисперсию Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм. Решение. 1) Пусть
Х
– длина детали. Если случайная величина
Х
задана дифференциальной функцией . Вероятность
выполнения строгих неравенств , (1) где В задаче . Тогда 2) По условию задачи
,
где . (2) Из формулы (2) имеем. Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками . Математическим ожиданием М (x) случайной величины называется ее среднее значение. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле где – значения случайной величины, р i - ихвероятности. Рассмотрим свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание константы равно самой константе 2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число М (kx) = kМ (x) 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий М (x 1 + x 2 + … + x n) = М (x 1) + М (x 2) +…+ М (x n) 4. М (x 1 - x 2) = М (x 1) - М (x 2) 5. Для независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий М (x 1 , x 2 , … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n) 6. М (x - М (x)) = М (x) - М (М(x)) = М (x) - М (x) = 0 Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11. М (x) = = . Пример 12. Пусть случайные величины x 1 , x 2 заданы соответственно законами распределения: x 1 Таблица 2 x 2 Таблица 3 Вычислим М (x 1) и М (x 2) М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0 М (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0 Математические ожидания обеих случайных величин одинаковы- они равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения x 1 мало отличаются от своего математического ожидания, то значения x 2 в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ. Аналогично по показателю средней заработной платы не возможно судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых работниках. Поэтому, вводится числовая характеристика – дисперсия D (x) , которая характеризует степень отклонения случайной величины от своего среднего значения: D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2) Дисперсия –это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле: D (x) = = (3) Из определения дисперсии следует, что D (x) 0. Свойства дисперсии: 1. Дисперсия константы равна нулю 2. Если случайную величину умножить на некоторое число k , то дисперсия умножится на квадрат этого числа D (kx) = k 2 D (x) 3. D (x) = М (x 2) – М 2 (x) 4. Для попарно независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n дисперсия суммы равна сумме дисперсий. D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n) Вычислим дисперсию для случайной величины из Примера 11. Математическое ожидание М (x) = 1. Поэтому по формуле (3) имеем: D (x) = (0 – 1) 2 ·1/4 + (1 – 1) 2 ·1/2 + (2 – 1) 2 ·1/4 =1·1/4 +1·1/4= 1/2 Отметим, что дисперсию вычислять проще, если воспользоваться свойством 3: D (x) = М (x 2) – М 2 (x). Вычислим дисперсии для случайных величин x 1 , x 2 из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю. D (x 1) = 0,01· 0,1 + 0,0001· 0,2 + 0,0001· 0,2 + 0,01· 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204 D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260 Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения. Величина называется среднеквадратическим отклонением . Модой случайной величины x дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность. Модой случайной величины x непрерывного типа Md , называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f(x). Медианой случайной величины x непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно. Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) . Свойства математического ожидания случайной величины
Свойства дисперсии
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Алгоритм вычисления математического ожиданияСвойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.
Пример №1 .
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i . Математическое ожидание M[X] . M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9 Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 . Дисперсия D[X] . D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69 Среднее квадратическое отклонение σ(x) . σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78 Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 Решение.
Закон распределения дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: Пример. X -4 6 10 Решение: Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности: М (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Для вычисления математического ожидания удобно расчеты проводить в Excel (в особенности когда данных много), предлагаем воспользоваться готовым шаблоном (). Пример для самостоятельного решения (можете применить калькулятор). X 0,21 0,54 0,61
Математическое ожидание обладает следующими свойствами. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М (Х1Х2 ...Хп)=М (X1) М {Х2)*. ..*М (Xn) Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Хг + Х2+...+Хn) = М{Хг)+М(Х2)+…+М(Хn). Задача 189. Найти математическое ожидание случайной вели чины Z, если известны математические ожидания X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; Решение: Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11. 190. Используя свойства мaтематического ожидания, доказать, что: а) М(Х - Y) = M(X)-М (Y); б) математическое ожидание отклонения X-M(Х) равно нулю. 191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8. 192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi 194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных. 196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X-числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по
явится по одному очку, если общее число бросаний
равно двадцати.
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: Математическое ожидание Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) . Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) . Задана плотность распределения f(x): Задана функция распределения F(x): Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Свойства плотности распределения1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки: Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице. 3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток. 4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом: Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть } |
Популярное:
Проект на тему шоколад польза или вред |
Новое
- Критерии выбора системы электронного документооборота
- Константин Анохин: Мозг и разум Учёные и художники: глаза в глаза
- Проект по внеклассному литературному чтению "весна глазами поэтов, писателей, художников"
- Что относится к трансжирам
- Бурсит тазобедренного сустава лечение препараты Что такое бурсит тазобедренного сустава
- Сонник: к чему снится Покойник
- Журнал кассира операциониста и его заполнение Журнал кассира операциониста титульный лист
- Рецепт: Татарские салаты
- Морской окунь, запеченный в фольге
- Что можно делать с лисичками грибами