Разделы сайта
Выбор редакции:
- Клаус Джоул Пьяный лепрекон
- Критерии выбора системы электронного документооборота
- Константин Анохин: Мозг и разум Учёные и художники: глаза в глаза
- Проект по внеклассному литературному чтению "весна глазами поэтов, писателей, художников"
- Что относится к трансжирам
- Бурсит тазобедренного сустава лечение препараты Что такое бурсит тазобедренного сустава
- Сонник: к чему снится Покойник
- Журнал кассира операциониста и его заполнение Журнал кассира операциониста титульный лист
- Рецепт: Татарские салаты
- Морской окунь, запеченный в фольге
Реклама
Формула нахождения n числа арифметической прогрессии. Сумма первых n-членов арифметической прогрессии |
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения. Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием. Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии. Для арифметической прогрессии справедливы формулы , (1) где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и . Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической». Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом: (3) Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула (5) где и . Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает Если обозначить , то где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6). В частности , из формулы (5) следует , что К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы. Теорема. Если , то Доказательство. Если , то Теорема доказана. Например , используя теорему , можно показать , что Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия». Пример 1. Пусть и . Найти . Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или . Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и . Решение. Из условия примера вытекает система уравнений Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем Решением данной системы уравнений являются и . Пример 3. Найти , если и . Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем . Так как и , то из равенства вытекает уравнение или . Пример 4. Найти , если . Решение. По формуле (5) имеем Однако, используя теорему, можно записать Отсюда и из формулы (11) получаем . Пример 5 . Дано: . Найти . Решение. Так как , то . Однако , поэтому . Пример 6. Пусть , и . Найти . Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или . Так как и , то здесь имеем систему уравнений Решая которую, получаем и . Натуральным корнем уравнения является . Пример 7. Найти , если и . Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или . Корнями квадратного уравнения являются и . Рассмотрим два случая. 1. Пусть , тогда . Поскольку и , то . В таком случае, согласно формуле (6), имеем 2. Если , то , и Ответ: и . Пример 8. Известно, что и . Найти . Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и . Отсюда следует система уравнений Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или . Поскольку и , то . Ответ: . Пример 9. Найти , если и . Решение. Поскольку , и по условию , то или . Из формулы (5) известно , что . Так как , то . Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем . Пример 10. Решить уравнение . Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае . Согласно формуле (1), можно записать или . Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень . Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и . Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии. Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или . Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому . Если значения , и подставить в формулу (6), то получим . Ответ: . Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5. Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5. Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и . Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим . Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы. 1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с. 2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с. 3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с. Остались вопросы? Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь . сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: Числовая последовательность
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно. Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: . В нашем случае: Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна. и т.д. Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается. Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет: a) Разобрался? Сравним наши ответы: Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения. 1. Способ Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения: Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен. 2. Способ А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел. Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии: Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии. Рассчитал? Сравни свои записи с ответом: Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие. Возрастающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего. Убывающие
- прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего. Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии. Так как, то: Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии. Сравним полученные результаты: Свойство арифметической прогрессииУсложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии. Пусть, а, тогда: Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях. Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии: Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на. Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно. Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс... Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат… Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты. Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.
В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена. Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го. Сколько у тебя получилось? На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии. Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды. В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: . Способ 1. Способ 2. А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии. ТренировкаЗадачи:
Ответы:
Подведем итоги
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬЧисловая последовательностьДавай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности. Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер. Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества. Число с номером называется -ым членом последовательности. Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: . Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула задает последовательность: А формула - такую последовательность: Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность). Формула n-го членаРекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих: Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда: Ну что, ясно теперь какая формула? В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус: Теперь намного удобнее, правда? Проверяем: Реши сам: В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член. Решение: Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему: (она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии). Итак, формула: Тогда сотый член равен: Чему равна сумма всех натуральных чисел от до? По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак, Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой: Пример:
Решение: Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью. Формула -го члена для этой прогрессии: Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными? Очень легко: . Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма: Ответ: . Теперь реши сам:
Ответы:
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМЭто числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей (). Например: Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессиизаписывается формулой, где - количество чисел в прогрессии. Свойство членов арифметической прогрессииОно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии. Сумма членов арифметической прогрессииСуществует два способа нахождения суммы: Где - количество значений. Где - количество значений. ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!Стать учеником YouClever, Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц", А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia. Сумма арифметической прогрессии.Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных. Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула. Формула суммы выглядит просто: Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит. S n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.) a 1 - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда. a n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите. n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов. Определимся с понятием последнего члена a n . Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?) Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!) В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена. Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n , определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.) Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.Прежде всего, полезная информация: Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы. Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА. 1. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов. Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a 1 , последний член a n , да номер последнего члена n. Где взять номер последнего члена n ? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a n в формулу будем подставлять a 10 , а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов. Осталось определить a 1 и a 10 . Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак. a 1 = 2·1 - 3,5 = -1,5 a 10 =2·10 - 3,5 =16,5 S n = S 10 . Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать: Вот и все дела. Ответ: 75. Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее: 2. Дана арифметическая прогрессия (a n), разность которой равна 3,7; a 1 =2,3. Найти сумму первых 15 её членов. Сразу пишем формулу суммы: Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой: a 15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1 Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ: Ответ: 423. Кстати, если в формулу суммы вместо a n просто подставим формулу n-го члена, получим: Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии: Как видим, тут не требуется n-й член a n . В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.) Теперь задание в виде краткой шифровки): 3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём. Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!? Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым ? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут... Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи: 12, 15, 18, 21, ... 96, 99. Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!) Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии: А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они. Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30. Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии: Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы: a 1 = 12. a 30 = 99. S n = S 30 . Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем: Ответ: 1665 Ещё один тип популярных задачек: 4. Дана арифметическая прогрессия: -21,5; -20; -18,5; -17; ... Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый. Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула. Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?) Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S 1-19 , да сложим с суммой членов второй части S 20-34 , получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S 1-34 . Вот так: S 1-19 + S 20-34 = S 1-34 Отсюда видно, что найти сумму S 20-34 можно простым вычитанием S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем? Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии: d = 1,5. a 1 = -21,5. Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2: a 19 = -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5 a 34 = -21,5 +(34-1)·1,5 = 28 Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов: S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5 Ответ: 262,5 Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S 20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S 1-19 . А уж потом определили и S 20-34 , отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.) В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.) Практический совет: При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы. Формулу n-го члена: Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает. А теперь задачи для самостоятельного решения. 5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три. Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет. 6. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сумму первых 24 её членов. Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются. 7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи? Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2. Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6. Если Вам нравится этот сайт...Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!) можно познакомиться с функциями и производными. |
Популярное:
Проект на тему шоколад польза или вред |
Новое
- Критерии выбора системы электронного документооборота
- Константин Анохин: Мозг и разум Учёные и художники: глаза в глаза
- Проект по внеклассному литературному чтению "весна глазами поэтов, писателей, художников"
- Что относится к трансжирам
- Бурсит тазобедренного сустава лечение препараты Что такое бурсит тазобедренного сустава
- Сонник: к чему снится Покойник
- Журнал кассира операциониста и его заполнение Журнал кассира операциониста титульный лист
- Рецепт: Татарские салаты
- Морской окунь, запеченный в фольге
- Что можно делать с лисичками грибами