1. Një nga problemet urgjente të metodave moderne të mësimdhënies në shkollë është zhvillimi i motivimit të nxënësve. Rritja e ngarkesës mendore në orët e matematikës na bën të mendojmë se si të ruajmë interesin e nxënësve për materialin që studiohet dhe aktivitetin e tyre gjatë gjithë mësimit. Duhet të sigurohemi që çdo nxënës të punojë aktivisht dhe me entuziazëm gjatë mësimeve. Në këtë situatë, mësuesit i vijnë në ndihmë teknologjitë e lojërave - një metodë moderne dhe e njohur e mësimdhënies dhe edukimit, e cila ka funksione edukative, zhvillimore dhe edukative që funksionojnë në unitet organik. Format e lojës së mësimdhënies në orët e matematikës bëjnë të mundur organizimin efektiv të ndërveprimit midis mësuesit dhe nxënësve. Edhe nxënësit më pasivë përfshihen në lojë. Aktivitetet e lojërave motivojnë mësimin; gjatë lojës, secili student merr mundësinë të mendojë në mënyrë të pavarur, të zhvillojë të menduarit krijues dhe të zgjidhë probleme të ndryshme (d.m.th., të zbatojë njohuritë e fituara në një situatë specifike të jetës).

Shkarko:

Pamja paraprake:

Institucioni arsimor buxhetor komunal shkolla e mesme nr. 24 me studim të thelluar të lëndëve individuale të shkencave humane me emrin. I.S. Turgenev, Oryol

Zhvillimi metodologjik i orës së mësimit

Algjebra dhe fillimet e analizës

Klasa 11

Libër mësuesi: Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 10 -11: Teksti mësimor. Për arsimin e përgjithshëm institucionet. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 f.: ill. (bazë)

Mësuesja e matematikës: Moreva Oksana Vladimirovna

Abstrakt i veprës: Një nga problemet urgjente të metodave moderne të mësimdhënies në shkollë është zhvillimi i motivimit të nxënësve. Rritja e ngarkesës mendore në orët e matematikës na bën të mendojmë se si të ruajmë interesin e nxënësve për materialin që studiohet dhe aktivitetin e tyre gjatë gjithë mësimit. Duhet të sigurohemi që çdo nxënës të punojë aktivisht dhe me entuziazëm gjatë mësimeve. Në këtë situatë, mësuesit i vijnë në ndihmë teknologjitë e lojërave - një metodë moderne dhe e njohur e mësimdhënies dhe edukimit, e cila ka funksione edukative, zhvillimore dhe edukative që funksionojnë në unitet organik. Format e lojës së mësimdhënies në orët e matematikës bëjnë të mundur organizimin efektiv të ndërveprimit midis mësuesit dhe nxënësve. Edhe nxënësit më pasivë përfshihen në lojë. Aktivitetet e lojërave motivojnë mësimin; gjatë lojës, secili student merr mundësinë të mendojë në mënyrë të pavarur, të zhvillojë të menduarit krijues dhe të zgjidhë probleme të ndryshme (d.m.th., të zbatojë njohuritë e fituara në një situatë specifike të jetës).

Harta e mësimit teknologjik

Plani i mësimit

1. Momenti organizativ (2-3 min.)
2. Përditësimi i njohurive bazë (5 min.)
3. «Pushtimi i majave» (30 min.)

• Lartësia e parë (vetëtestimi)
• Lartësia e dytë (punë në grup)
• Lartësia e tretë (punë individuale e diferencuar).

1. Përmbledhje (4 - 5 min.)
2. Detyrë shtëpie (2 – 3 min.)
3. Reflektim mbi arritjen e qëllimit (1 min.)

Gjatë orëve të mësimit:

1. Koha e organizimit

Mësimi fillon me dëgjimin e një fragmenti nga kënga e V.V. Vysotsky "Vetëm malet mund të jenë më të mirë se malet" (rrëshqitje 2).

Mësues: Çdo njeri në jetë ka majat që ata përpiqen t'i pushtojnë. Dikush dëshiron të bëhet mjek, dikush është atlet dhe dikush mund të dëshirojë të bëhet alpinist. Në fund të fundit, lartësitë gjithmonë i kanë tërhequr njerëzit. Kujtoni Ikarin, sepse ëndrra e tij ishte të fluturonte drejt Diellit. Dhe ai e realizoi ëndrrën e tij. Thelbi i një personi është të arrijë gjithmonë qëllimin e synuar. Epigrafi i mësimit tonë janë fjalët nga kënga që keni dëgjuar.

Si shkëlqen me zjarr të përjetshëm gjatë ditës
Maja e akullit smerald,
Të cilën nuk e pushtuat kurrë.

V.V.Vysotsky

Sot në klasë ju ftoj në një ekspeditë për të pushtuar majat e maleve. Ju duhet të shndërroheni në atletë alpinistë që pushtojnë majën e njohurive të quajtur "Shkalla me një eksponent fraksional" (rrëshqitje 3).

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit shkruajnë temën e mësimit në fletoren e tyre të punës.

1. Përditësimi i njohurive të referencës

Mësues: Para secilit prej jush është një kartë - një banak, në të cilin do të regjistroni sukseset tuaja në pushtimin e majave malore(Shtojca 1) . Shkruani emrin dhe mbiemrin tuaj në rreshtin e sipërm. Në këtë kartë do të regjistroni kalimin e çdo lartësie në pikë. Në fund të mësimit, do të llogaritni në mënyrë të pavarur pikët që keni shënuar për mësimin dhe do të zbuloni nëse keni arritur të pushtoni "lartësinë e malit" apo jo.

Kontrollimi i pajisjeve: "Çfarë do të marrim me vete në rrugë?"(rrëshqitje 4).

Mësues: Siç e dini, një ekspeditë i paraprin gjithmonë një përgatitje e kujdesshme, kështu që në fillim ju sugjeroj të kontrolloni gatishmërinë tuaj për të pushtuar majën e malit.

1) Vazhdo shprehjen: Nëse është një thyesë e zakonshme (q ≠1) dhe a ≥ 0, pastaj nën a p/q kuptoj...

2) Llogaritni me gojë: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Detyrat mund të shkruhen paraprakisht në tabelë ose të paraqiten në formën e kartave)

3) Vazhdoni me vetitë e mëposhtme (Detyrat mund të shkruhen paraprakisht në tabelë)

a s ∙ a t =…

a s: a t =…

(a s) t =…

(ab)s =…

() s = ...

4) Llogaritni me gojë:(Detyra mund të shkruhet paraprakisht në tabelë)

Mësues: Pra, pajisjet janë mbledhur. Ne shkojmë në male për të pushtuar majat e maleve.

1. Pushtimi i majave

Lartësia e parë "Orteku i borës"(Vetëtest)

Mësues: Çdo mal është sa i bukur aq edhe i rrezikshëm. Shumë rreziqe i presin alpinistët në male. Gjëja e parë që do të na duhet të përballemi në male është një ortek (rrëshqitje 5). Për të dalë nga bora, duhet të kryeni detyrën e mëposhtme.

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit marrin një detyrë për dy opsione dhe e plotësojnë në mënyrë të pavarur në fletoret e tyre të punës. (Çdo student merr detyrën e tij në një kartë.) Dy studentë punojnë nga pjesa e pasme e tabelës. Detyra do të marrë 5-7 minuta për të përfunduar.

opsioni 1

Opsioni 2

1. Llogarit: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
2. Thjeshtoni shprehjen: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

Në fund të punës, studentët që kanë punuar në tabelë e largojnë tabelën. Puna e tyre kontrollohet nga mësuesi. Nxënësit që kanë punuar në fletore kryejnë vetëtestim. Domethënë, secili nxënës kontrollon në mënyrë të pavarur korrektësinë e detyrës së tij, bazuar në zgjidhjen në tabelë. Çdo detyrë e përfunduar saktë vlen 2 pikë. Pikët e fituara për plotësimin e “Oretit të borës” shënohen në kartonin e sportelit.

Minuta e edukimit fizik.

Mësues: Pushtimi i majave malore është një detyrë shumë e vështirë. Të gjithë ishim shumë të lodhur duke u çliruar nga reshjet e borës. Unë ju sugjeroj të bëni një pushim.

Ushtrimi "Ejani, provojeni!":

Mësuesi/ja fton nxënësit të shtrijnë dorën përpara me një pëllëmbë të hapur nga lart. Shtypni gishtin e madh në pëllëmbën tuaj. Gishtat e mbetur duhet të dalin jashtë. Tani shtypni gishtin tuaj të vogël. Ka ndodhur? Jo ashtu!

Lartësia e dytë "Ice Crack"(punë në grup)

Mësues: Ndërsa po pushonim, një çarje akulli u shfaq në rrugën tonë (rrëshqitje 6). A e dini se si veprojnë alpinistët në një situatë të tillë?

Shembull i përgjigjeve të studentëve:Alpinistët ndihmojnë njëri-tjetrin... Për ta ngritur një alpinist nga një çarje, i hedhin një litar... Ata punojnë së bashku... Është shumë e vështirë të dalësh vetëm, ke nevojë për ndihmën e një shoku…….

Mësues: Nga përgjigjet tuaja rezulton se për të dalë nga një çarje akulli, duhet të punoni si ekip. Kështu që ju dhe unë do të kryejmë detyrën tjetër në grup.

Veprimtaritë e nxënësve:Klasa është e ndarë në grupe prej 4-5 personash. Secili grup merr një kartë me detyrat në të cilat kanë bërë gabime. Nxënësit duhet t'i gjejnë dhe korrigjojnë ato. Detyra do të marrë 5-7 minuta për të përfunduar.

Karta 1

Gjeni gabime

1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Karta 2

Gjeni gabime

Karta 3

Gjeni gabime

1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1) (x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1 )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Karta 4

Gjeni gabime

Në fund të punës mësuesit i raportojnë mësuesit gabimet që kanë gjetur dhe korrigjuar. Mësuesi/ja kontrollon korrektësinë e detyrës. Për çdo gabim të korrigjuar, çdo anëtari të grupit i jepen 2 pikë. Pikët e fituara për plotësimin e “Ice Crack” regjistrohen në kartën e sportelit.

Lartësia e tretë "Rock Fall"(punë individuale e diferencuar).

Mësues: Përpara se të kishim kohë të dilnim nga çarja e akullit, një rënie guri na goditi (rrëshqitja 7). Gërmadhat duhet të pastrohen. Të gjithë gurët janë të ndryshëm: të mëdhenj dhe të vegjël. Disa do të veshin gurë të vegjël, dhe disa do të veshin gurë të mëdhenj. Të gjithë do të zgjedhin një detyrë sipas fuqisë së tyre.

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit marrin një zgjedhje të detyrave të diferencuara të niveleve të ndryshme të vështirësisë.

Ata që zgjodhën "gurë të mëdhenj" marrin detyra të nivelit më të lartë në kartat individuale. Bazuar në rezultatet e kryerjes së kësaj detyre, ata do të mund të fitojnë deri në 8 pikë. Çdo detyrë e përfunduar saktë vlen 2 pikë.

opsioni 1

Zvogëloni thyesën:

A) ; b) ; c) ; d)

Opsioni 2

Zvogëloni thyesën:

Në fund të punës, mësuesi kontrollon korrektësinë e detyrës.

Dhe ata që zgjodhën "gurë të vegjël" kryejnë detyra të nivelit bazë në formën e një testi (shih testin interaktiv në disk ose në Shtojca 2 ). Bazuar në rezultatet e kryerjes së kësaj detyre, ata mund të fitojnë deri në 5 pikë.

Pikët e fituara për plotësimin e “Rockfall” regjistrohen në kartonin e kundërt.

1. Duke përmbledhur lojën:

Mësues: Të dashur “alpinistë”! Le të llogarisim pikët që keni marrë në bazë të rezultateve të tre testeve.

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit numërojnë pikët që kanë shënuar dhe i shënojnë në kolonën “Rezultati i përgjithshëm”.

Mësues: Le të përmbledhim (rrëshqitje 8). Nëse keni shënuar 18-20 pikë, atëherë keni pushtuar majën më të lartë - bravo (notë e shkëlqyer)! Nëse keni shënuar 15 - 17 pikë, keni pushtuar lartësinë e dytë, mirë ( shënoj mirë) . Nëse 11 - 14 pikë do të thotë se keni kapërcyer vetëm lartësinë e parë, kjo nuk është gjithashtu keq (notë e kënaqshme). Nëse keni shënuar më pak se 11 pikë, atëherë keni mbetur në fund të kulmit. Por mos u mërzit! Ju duhet edhe një herë t'i nënshtroheni stërvitjes dhe të përsërisni ngjitjen, kulmi juaj është ende përpara jush!

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit, sipas vlerësimit, i japin vetes një notë për mësimin në kolonën "Shëno" dhe ia dorëzojnë mësuesit kartën e tyre - numëruesin.

Mësues (sipas gjykimit tuaj)i transferon këto nota në ditar.

1. Detyre shtepie:§ 37; nr 37.28; nr 37.30ag; Nr 37.39*b

nr 37.28. Zvogëlo thyesën: a); b) ; V) ; G) .

Nr 37.30ag. Thjeshtoni shprehjen: a) (1 +) 2 - 2; d) + - ( + ) 2

Nr 37.39*b. Thjeshtoni shprehjen: b) ( + )

1. Reflektimi për arritjen e qëllimit:

Mësues: Tani do t'ju kërkoj të vazhdoni një ose më shumë fraza (rrëshqitja 9)

• ishte interesante…
• ishte e veshtire…
• Kam kryer detyrat...
• E menaxhova …
• me dha nje leksion jete...

Veprimtaritë e nxënësve:Nxënësit vazhdojnë një ose më shumë fraza sipas dëshirës.

Mësues: Mësimi ynë filloi me një këngë dhe unë dua ta mbyll me poezi(rrëshqitje 10) . Lexon një poezi.

Aspirata e zemrës për në majë është e nderuar,

Është bukur të shikosh tokën nga poshtë.

U ngjit... Ti je një hero, një fitues tani e tutje

Dhe duket se bota qiellore është në duart tona.

Maja është një shkretëtirë, vetëm gurë të mençur

Duke parë me qetësi yjet që shkëlqejnë...

Për ta nuk je asgjë, një endacak i humbur,

Robër i iluzioneve, ëndrrave të dyshimta...

Maja të jep ndjenjën e fluturimit,

Liri nga zhurma e përjetshme e botës,

Portat janë të hapura për një dije tjetër...

Pjekuria e pastërtisë së saj është emocionuese...

Shtojcë e planit mësimor"Përgjithësimi i konceptit të eksponentit"

Shtojca 1.

Kartela – sporteli _________________________ (Mbiemri, emri)

Shtojca 2.

Test

Zgjidhni një nga përgjigjet e sugjeruara.

1. Thjeshtoni shprehjen: (1 – s 1/2 )(1 + s 1/2 )

• (1 - me 1/2) 2
• 1 – s
• 1 – 2s 1/2 + s

1. Thjeshtoni shprehjen: (1 – a 1/2 ) 2

• 1 – a + a 2

• – 2a + a 2

• 1 – 2a 1/2 + a

1. Faktori në: 3/4 - deri në 1/2

• në 3/4 (1 – in)
• në 1/2 (në 1/4 – 1)
• në 1/2 (në 1/2 – 1)
• nuk mund të zbërthehet

1. Faktorizoni: a – b

• aw (a 1/2 - në 1/2)
• (a - në 1/2) (a + në 1/2)
• nuk mund të zbërthehet
• (a 1/2 - në 1/2) (një 1/2 + në 1/2)

Vlerësimi i testit: 1 përgjigje e saktë – 2 pikë; 2 përgjigje të sakta – 3 pikë;3 përgjigje të sakta – 4 pikë; 4 Përgjigja e saktë - 5 pikë.

Mësim dhe prezantim me temën: "Përgjithësimi i koncepteve për eksponentë"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 11-të
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9–11
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Djema, në këtë mësim do të përgjithësojmë njohuritë për eksponentët. Mund të llogarisim fuqitë me çdo eksponent numër të plotë. Po nëse eksponenti nuk është një numër i plotë? Dhe cila është lidhja midis rrënjëve dhe funksioneve të fuqisë së një eksponenti jo të plotë?

Le të përsërisim pak, të shqyrtojmë një numër të formës $a^n$.
1. Nëse $n=0$, atëherë $a^n=a^0=1$.
2. Nëse $n=1$, atëherë $a^n=a^1=a$.
3. Nëse $n=2,3,4,5$… atëherë $a^n=a*a*a…*a$ (n faktorë).
4. Nëse $n=1,2,3,4,5$… dhe $a≠0$, atëherë $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Rregullat e mësipërme mund të përdoren edhe si kujtesë!

Në të gjitha rregullat e paraqitura më sipër, eksponenti është një numër i plotë. Çfarë duhet bërë në rastin e një eksponenti thyesor?
Cili është numri $2^(\frac(2)(3))$ dhe si të punohet me të? Kur punoni me fuqi të tilla, është e nevojshme që të ruhen të gjitha vetitë për fuqitë e plota. Për shembull, kur ngrihej një shkallë në një fuqi, treguesit u shumëzuan.

Për shembull: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Le të prezantojmë zëvendësimin e simbolit të mëposhtëm: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Pastaj: $a^3=2^2$.
Ne marrim: $a=\sqrt(2^2)$.
Kjo do të thotë, ne mund ta paraqesim shprehjen origjinale në këtë formë: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Përkufizimi. Le të na jepet një thyesë e zakonshme $\frac(a)(b)$, $b≠1$ dhe $x≥0$, pastaj $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.

Për shembull: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Le të shumëzojmë dy numra me baza të njëjta, por me fuqi të ndryshme:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Por shënojmë gjithashtu: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
Kjo është: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Shtimi i thyesave është shumë më i lehtë sesa puna me radikale (duhet t'i sillni eksponentët në të njëjtën formë dhe më pas thjesht të shumëzoni). Prandaj, është zakon të kaloni në funksionet e fuqisë me një eksponent të pjesshëm.

Shembull.
Llogaritni:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Zgjidhje.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Mund të nxjerrim vetëm një rrënjë me një eksponent thyesor nga një numër pozitiv, djema, shikoni përkufizimin tonë. Shprehja jonë nuk ka kuptim.
Duket se $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ është shënimi i saktë, por le të hedhim një vështrim më të afërt në shprehjen tonë: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Morëm një shprehje kontradiktore, megjithëse të gjitha operacionet u kryen saktë, sipas vetive dhe përcaktimeve. Prandaj, matematikanët ndaluan ngritjen e numrave negativë në fuqi thyesore.

Djema, mbani mend: Ne mund t'i ngremë numrat pozitivë vetëm në fuqi thyesore!

Përkufizimi. Le të jepet një thyesë e zakonshme $\frac(a)(b)$, $b≠1$ dhe $х>0$, pastaj $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

Për shembull: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Të gjitha vetitë që kemi hasur gjatë punës me numrat e fuqisë ruhen në rastin e fuqive racionale, le të përsërisim vetitë.

Le të na jepen numra pozitivë $a>0$ dhe $b>0$, x dhe y janë numra racionalë arbitrarë, atëherë vlejnë 5 vetitë e mëposhtme:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Shembull.
Thjeshtoni shprehjen: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Zgjidhje.
Le t'i rishkruajmë numëruesit në formën e funksioneve të fuqisë:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2)+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Shembull.
Zgjidh ekuacionet:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Zgjidhje.
a) Ngrini të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e pestë:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) Ekuacioni ynë është shumë i ngjashëm me ato të mëparshme. Nëse kalojmë nga rrënjët e shkrimit në funksionet e fuqisë, atëherë rekordi do të jetë identik, por ia vlen të merret parasysh që menjëherë na jepet një shprehje fuqie. Sipas definicionit, numri x mund të jetë vetëm pozitiv, atëherë na mbetet një përgjigje $x=1$.

Shembull.
Zgjidheni ekuacionin: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Zgjidhje.
Le të prezantojmë një ndryshore të re: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën e një ekuacioni të zakonshëm kuadratik: $y^2+y-12=0$.
Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim dy rrënjë: $y_1=-4$ dhe $y_2=3$.

Duhet vetëm të zgjidhim dy ekuacione: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ dhe $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Ekuacioni i parë nuk ka rrënjë. Kujtojmë se funksionet e fuqisë me një eksponent racional përcaktohen vetëm për numra pozitiv.
Le të zgjidhim ekuacionin e dytë:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Djema, ne shikuam dy shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve irracionale.

Le të rendisim metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale.
1) Ngritja e të dy anëve të një ekuacioni në të njëjtën fuqi(kur përdorni këtë metodë, duhet të kontrolloni zgjidhjet e marra, pasi mund të shfaqen zgjidhje të jashtme).
2) Metoda e zëvendësimit të variablave(prezantimi i variablave të rinj).
3) Hartimi i grafikëve të funksioneve. Paraqesim të dyja anët e ekuacionit si funksione, ndërtojmë grafikët e tyre dhe gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Manuali përmban punë të pavarur dhe testuese për të gjitha temat më të rëndësishme të lëndës së matematikës për klasat 10-11. Punimet përbëhen nga 6 opsione të tre niveleve të vështirësisë. Materialet didaktike janë të destinuara për organizimin e punës së pavarur të diferencuar të studentëve.

Shembuj.
Ka 10 topa në një kuti, 3 prej të cilëve janë të bardhë. Një top në një kohë hiqet në mënyrë sekuenciale nga kutia derisa të shfaqet një top i bardhë. Gjeni probabilitetin që të shfaqet një top i bardhë.

Tre gjuajtës qëllojnë në të njëjtin objektiv 2 herë secili. Dihet se probabiliteti i një goditjeje për çdo gjuajtës është 0,5 dhe nuk varet nga rezultatet e gjuajtësve të tjerë dhe goditjeve të mëparshme. A është e mundur të thuhet
me një probabilitet prej 0.99 që të paktën një e shtënë të godasë objektivin?
me probabilitet 0.5 që çdo gjuajtës të godasë objektivin të paktën një herë?

PËRMBAJTJA
Trigonometria
S-1. Përkufizimi dhe vetitë e funksioneve trigonometrike. Masat e shkallës dhe radianit të këndit
S-2. Identitete trigonometrike
S-3. Formulat e reduktimit. Formulat e shtimit
S-4. Formulat e dyfishtë dhe gjysmë këndi
S-5. Formulat trigonometrike për shndërrimin e një shume në një produkt dhe një produkti në një shumë
S-6*. Probleme shtesë të trigonometrisë (detyrë shtëpie të pavarura)
K-1. Shndërrimi i shprehjeve trigonometrike
S-7. Vetitë e përgjithshme të funksioneve. Transformimet e grafikëve të funksionit
S-8. Barazia dhe periodiciteti i funksioneve
S-9. Monotonia e funksioneve. Ekstremet C-10*. Hulumtimi i funksioneve. Lëkundjet harmonike (punë praktike në shtëpi)
K-2. Funksionet trigonometrike
S-11. Funksionet trigonometrike të anasjellta __
S-12*. Zbatimi i vetive të funksioneve trigonometrike të anasjellta (detyrë shtëpie të pavarura)
S-13. Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike
S-14. Ekuacionet trigonometrike
S-15. Zgjedhja e rrënjëve në ekuacionet trigonometrike. Sistemet e ekuacioneve trigonometrike
S-16*. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike (detyrë shtëpie të pavarura)
S-17*. Sistemet e ekuacioneve trigonometrike (detyrë shtëpie të pavarura)
S-18. Pabarazitë më të thjeshta trigonometrike
S-19*. Metodat për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike (detyrë shtëpie të pavarura)
K-3. Ekuacionet trigonometrike, inekuacionet, sistemet
Algjebër
S-20. Rrënja e n-të dhe vetitë e saj
S-21. Ekuacionet irracionale
S-22. Pabarazitë irracionale. Sistemet e ekuacioneve irracionale
S-23*. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale, pabarazive, sistemeve (detyrë shtëpie të pavarura)
S-24. Përgjithësim i konceptit të gradës
K-4. Fuqitë dhe rrënjët
S-25. Ekuacionet eksponenciale. Sistemet e ekuacioneve eksponenciale
S-26. Pabarazitë eksponenciale
S-27*. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale (detyrë shtëpie të pavarura)
S-28*. Ekuacionet dhe pabarazitë e fuqisë eksponenciale (detyrë shtëpie të pavarura)
K-5. Funksioni eksponencial
S-29. Logaritmi. Vetitë e logaritmeve
S-30. Ekuacionet dhe sistemet logaritmike
S-31*. Zbatimi i logaritmeve në zgjidhjen e ekuacioneve dhe sistemeve transcendentale (detyrë shtëpie të pavarura)
S-32. Pabarazitë logaritmike
S-33*. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, pabarazive, sistemeve (detyrë shtëpie të pavarura)
K-6. Funksioni logaritmik
S-34. Përgjithësim i konceptit të një moduli. Ekuacionet dhe pabarazitë me modul
Fillimi i analizës
S-35. Llogaritja e kufijve të sekuencave dhe funksioneve të numrave. Vazhdimësia e funksionit
S-36. Përkufizimi i derivatit. Rregullat më të thjeshta për llogaritjen e derivateve
S-37. Derivatet e funksioneve trigonometrike dhe komplekse
S-38. Kuptimi gjeometrik dhe mekanik i derivatit
K-7. Derivat
S-39. Studimi i një funksioni për monotoni dhe ekstreme
S-40*. Studim shtesë i funksionit (punë e pavarur në shtëpi)
S-41*. Hartimi i grafikëve të funksioneve (praktikë në shtëpi)
S-42. Vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Sfida ekstreme
S-43*. Probleme të zgjedhura të llogaritjes diferenciale (detyrë shtëpie të pavarura)
K-8. Zbatimi i derivatit
S-44. Antiderivativ. Llogaritja e antiderivativëve
S-45. Integral i caktuar. Llogaritja e zonave duke përdorur një integral të caktuar
S-46. Zbatimi i antiderivativit dhe integralit
S-47*. Probleme të zgjedhura të llogaritjes integrale (detyrë shtëpie të pavarura)
K-9. Antiderivativ dhe integral
S-48. Derivat dhe antiderivativ i një funksioni eksponencial
S-49. Derivat dhe antiderivativ i një funksioni logaritmik
S-50. Funksioni i fuqisë
S-51*. Probleme shtesë të analizës matematikore (detyrë shtëpie të pavarura)
K-10. Derivat dhe antiderivativ i funksioneve eksponenciale, logaritmike dhe fuqie
Numrat kompleks
S-52. Koncepti i një numri kompleks. Veprimet me numra kompleks në formë algjebrike
S-53. Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Veprimet me numra kompleks në formë gjeometrike
S-54. Forma trigonometrike e një numri kompleks. formula e Moivre
S-55*. Probleme shtesë me numra kompleks (detyrë shtëpie të pavarura)
K-11. Numrat kompleks
Kombinatorika
S-56. Turma. Vendosni operacionet
S-57. Formulat bazë të kombinatorikës. Problemet më të thjeshta kombinuese
S-58. Teorema binomiale. Vetitë e koeficientëve binomialë
S-59. Probleme kombinuese. Rregulli i shumës dhe rregulli i produktit
S-60*. Detyra shtesë në kombinatorikë (detyrë shtëpie të pavarura)
K-12. Elementet e kombinatorikës
Teoria e probabilitetit
S-61. Probabilitet klasik. Përdorimi i formulave të kombinatorikës gjatë llogaritjes së probabilitetit
S-62. Teorema e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit
S-63. Probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet e pavarura të ndodhë. Skema Bernoulli
S-64*. Kapituj shtesë të teorisë së probabilitetit (detyrë shtëpie të pavarura)
K-13. Elementet e teorisë së probabilitetit
PËRGJIGJE
Përgjigjet e testeve
Përgjigjet në shtëpi të pavarur
puna
LITERATURA.

Shkarkoni e-librin falas në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Punë e pavarur dhe testuese për algjebrën dhe parimet e analizës, klasat 10-11, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe pa pagesë.

Qëllimi i mësimit:

1. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive, aftësive dhe aftësive.
2. Përditësimi i njohurive bazë në kushtet e dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit.
3. Monitorimi dhe vetëkontrolli i njohurive, aftësive dhe aftësive duke përdorur teste.
4. Zhvillimi i aftësisë për të krahasuar dhe përgjithësuar.

Plani i mësimit.

1. Deklarata e qëllimit të mësimit (1 min)
2. Vepra gojore "Unë besoj - nuk besoj!" (6 min)
3. Zgjidhja e një sërë shembujsh për të krahasuar shprehjet (12 min)
4. Sofisti (4–5 min)
5. Zgjidhja e një shembulli për të thjeshtuar një shprehje (nga Provimi i Unifikuar i Shtetit) me një diskutim të pjesëve më "delikate" (15 min)
6. Punë e pavarur e bazuar në versionin demo të Provimit të Unifikuar të Shtetit (grupi A) (5 min)
7. Detyrë shtëpie (në copa letre)

Pajisje: projektor.

1. Miq! Para syve tuaj është pjesë e një deklarate të matematikanit anglez James Joseph Sylvester (1814–1897) për matematikën "Matematika është muzika e mendjes". Sa romantike nuk është?

Pyetje. Si mendoni se e përkufizoi ai muzikën?

"Muzika është matematika e ndjenjave."

Ne mund të përfshijmë lloje të ndryshme përvojash si ndjenja. Këtë vit një nga arsyet e shqetësimeve tuaja dhe të mia është dhënia me sukses e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe si rrjedhojë pranimi në universitet. Unë me të vërtetë dua që emocionet pozitive të mbizotërojnë. Duhet të ketë besim, dhe këto janë njohuritë dhe aftësitë tona. Sot në klasë do të vazhdojmë përgatitjet për Provimin e Unifikuar të Shtetit, duke përsëritur dhe përgjithësuar konceptin e gradës.

Pra, tema e mësimit të sotëm është "Përgjithësimi i konceptit të gradës."

Ne kemi përsëritur veçoritë dhe përkufizimet themelore, dhe ju ftoj të luani lojën "Beso ose jo!"

Detyra juaj është që shpejt (duke u mbështetur në intuitën tuaj, kjo do të ndihmojë në zgjidhjen e grupit A) t'i përgjigjeni pyetjes në mënyrë pozitive ose negative, dhe më pas të shpjegoni përgjigjen tuaj.

2. Vepra gojore “Besoj - Nuk besoj!”

1. Shprehjet kanë kuptim:

a) b) c) c) d)

3. Ekuacioni ka tre rrënjë

(jo, rrënja është një: 7, sepse)

4. Rrënja më e vogël e ekuacionit 1

3. Zgjidhja e një sërë shembujsh për të krahasuar thyesat. Tani unë propozoj të tërheq vëmendjen tuaj në një seri shembujsh të krahasimit të gradave.

Pyetje. Cilat mënyra për të krahasuar gradat dini?

Krahasimi i treguesve me baza të njëjta, krahasimi i bazave me eksponentë të njëjtë.

1. Krahasoni Dhe .

2. Krahasoni numrat Dhe .

Siç mund ta shihni, çështja është më e ndërlikuar.

Pyetje. Cilët numra janë eksponentë?

Irracionale.

Le të gjejmë numra racionalë që janë afër numrave irracionalë të dhënë dhe të përpiqemi të krahasojmë fuqitë me eksponentin racional.

Sepse baza e shkallës është më e madhe se 1, atëherë nga vetia e shkallëve kemi

Tani le të krahasojmë dhe .

Për ta bërë këtë, mjafton të krahasoni dhe 2 ose dhe.

Por , A .

Tani marrim një zinxhir pabarazish:

3. Krahasoni numrat Dhe .

Le të përdorim vetinë e mëposhtme të radikalëve: nëse , atëherë , ku .

Le të krahasojmë dhe.

Le të vlerësojmë qëndrimin e tyre:

Kështu, .

Shënime.

1) Në këtë rast, shkallët dhe janë të vogla, domethënë

, dhe nuk janë të vështira për t'u llogaritur "me dorë", d.m.th. pa një kalkulator. Ju mund të vlerësoni shkallët pa llogaritje:

Prandaj,

2) Nëse gradat me të vërtetë nuk mund të llogariten (madje edhe në një kalkulator), për shembull, dhe , atëherë mund të përdorni pabarazinë:

E vërtetë për çdo, dhe bëni këtë:

me te gjitha natyrale.

Mund ta vërtetoni vetë

4. Sofizmi. Epo, le të kalojmë në një punë tjetër. Le të gjejmë një gabim në arsyetimin e mëposhtëm, duke hedhur poshtë deklaratën:

"Një është e barabartë me një shkallë pafundësisht të madhe për një numër arbitrar."

Siç dihet, një njësi e ngritur në çdo fuqi, përfshirë zero, është e barabartë me një, d.m.th. A- çdo numër. Le të shohim, megjithatë, nëse kjo është gjithmonë kështu.

Le X– numër arbitrar. Me shumëzim të thjeshtë është e lehtë të verifikohet se shprehja (1) është një identitet për cilindo X. Atëherë identiteti që rrjedh nga (1) është gjithashtu i vërtetë, domethënë . (2)

Për një numër pozitiv arbitrar A ekziston.

Barazia (2) nënkupton barazinë

,

ose, çfarë është e njëjta,

. (3)

Duke supozuar në identitet (3) x=3, marrim

, (4)

dhe duke marrë parasysh atë , ne e kuptojmë atë.

Pra, fuqia e një, edhe kur eksponenti është i barabartë me pafundësinë, është i barabartë me një numër arbitrar, por në asnjë mënyrë me një, siç kërkohet nga rregullat e algjebrës.

Zgjidhje.

Gabimi është si më poshtë.

Barazia (1) është me të vërtetë e vlefshme për të gjitha vlerat X dhe prandaj është një identitet. Barazia (2) e përftuar prej saj nuk është më e vlefshme për të gjitha vlerat X. Kështu që, X nuk mund të jetë e barabartë me 2. pasi emëruesit në anën e majtë dhe të djathtë të (2) bëhen zero, dhe X nuk mund të jetë e barabartë me 3, pasi edhe emëruesi në anën e djathtë të (2) bëhet zero. Në x = 3 barazia (2) merr formën , e cila nuk ka kuptim.

Marrëdhënia (4) është marrë nga (3) pikërisht në x = 3, që çoi në një rezultat absurd.

Epo, tani le të kalojmë shpejt në vitin 2004, kur numri i mëposhtëm u propozua në detyrën C3.

5. Zgjidhja e shembullit (nga Provimi i Bashkuar i Shtetit).

Meqenëse f(x) është një funksion në rritje, atëherë .

Le të gjejmë se cila nga këto vlera është më afër 0.7, për të cilën krahasojmë

Dhe

Meqenëse , vlera e f(26) qëndron më afër 0.7.

6. Punë e pavarur e ndjekur nga kontrolli në tabelë.

Dhe tani është koha për të praktikuar: këtu janë shembuj nga versioni demo, gr. A 2009.

Ju i shihni ato si në tabelë ashtu edhe në copa letre. Detyra juaj është që shpejt të zgjidhni dhe plotësoni tabelat me përgjigje. Përputhni shkronjat dhe numrat para jush. Duke llogaritur ose thjeshtuar saktë shprehjet në tabelë, do të lexoni se çfarë ju nevojitet kur kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Opsioni 1 - fat, njohuri,

Opsioni 2 - besimi.

Pra, sot në klasë pamë se sa gjerësisht përdoret koncepti i gradës gjatë dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit. Ju mund të konsolidoni aftësitë tuaja të fituara duke bërë detyrat e shtëpisë.

7. Detyrë shtëpie.

Kushtojini vëmendje detyrave tuaja të shtëpisë, kjo do t'ju ndihmojë të konsolidoni materialin që trajtuam në klasë.