1. Jednym z palących problemów współczesnych metod nauczania w szkole jest rozwój motywacji uczniów. Wzrost obciążenia psychicznego na lekcjach matematyki każe zastanowić się, jak utrzymać zainteresowanie uczniów studiowanym materiałem i ich aktywność przez całą lekcję. Musimy zadbać o to, aby każdy uczeń aktywnie i entuzjastycznie pracował na lekcjach. W tej sytuacji z pomocą nauczycielowi przychodzą technologie gier – nowoczesna i uznana metoda nauczania i wychowania, która pełni funkcje edukacyjne, rozwojowe i wychowawcze, funkcjonując w organicznej jedności. Gry edukacyjne na lekcjach matematyki pozwalają efektywnie organizować interakcję pomiędzy nauczycielem a uczniami. Nawet najbardziej bierni uczniowie angażują się w grę. Zajęcia związane z grami motywują do nauki, podczas gry każdy uczeń ma możliwość samodzielnego myślenia, rozwijania twórczego myślenia i rozwiązywania różnorodnych problemów (czyli zastosowania zdobytej wiedzy w konkretnej sytuacji życiowej).

Pobierać:

Zapowiedź:

Miejska budżetowa placówka oświatowa Gimnazjum nr 24 z pogłębioną nauką o poszczególnych przedmiotach humanistycznych im. I.S. Turgieniew, Oryol

Metodyczne opracowanie lekcji

Algebra i początki analizy

Klasa 11

Podręcznik: Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy. 10 -11 klas: Podręcznik. Do edukacji ogólnej instytucje. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 s.: il. (baza)

Nauczyciel matematyki: Moreva Oksana Władimirowna

Streszczenie pracy: Jednym z palących problemów współczesnych metod nauczania w szkole jest rozwój motywacji uczniów. Wzrost obciążenia psychicznego na lekcjach matematyki każe zastanowić się, jak utrzymać zainteresowanie uczniów studiowanym materiałem i ich aktywność przez całą lekcję. Musimy zadbać o to, aby każdy uczeń aktywnie i entuzjastycznie pracował na lekcjach. W tej sytuacji z pomocą nauczycielowi przychodzą technologie gier – nowoczesna i uznana metoda nauczania i wychowania, która pełni funkcje edukacyjne, rozwojowe i wychowawcze, funkcjonując w organicznej jedności. Gry edukacyjne na lekcjach matematyki pozwalają efektywnie organizować interakcję pomiędzy nauczycielem a uczniami. Nawet najbardziej bierni uczniowie angażują się w grę. Zajęcia związane z grami motywują do nauki, podczas gry każdy uczeń ma możliwość samodzielnego myślenia, rozwijania twórczego myślenia i rozwiązywania różnorodnych problemów (czyli zastosowania zdobytej wiedzy w konkretnej sytuacji życiowej).

Mapa lekcji technologicznej

Plan lekcji

1. Moment organizacyjny (2-3 min.)
2. Aktualizacja podstawowej wiedzy (5 min.)
3. „Zdobywanie szczytów” (30 min.)

• Pierwsza wysokość (samotest)
• Druga wysokość (praca grupowa)
• Trzeci wzrost (praca indywidualna zróżnicowana).

1. Podsumowanie (4 - 5 min.)
2. Praca domowa (2 – 3 min.)
3. Refleksja na temat osiągnięcia celu (1 min.)

Podczas zajęć:

1. Organizowanie czasu

Lekcja rozpoczyna się od wysłuchania fragmentu piosenki W. W. Wysockiego „Tylko góry mogą być lepsze niż góry” (slajd 2).

Nauczyciel: Każdy w życiu ma szczyty, które stara się zdobyć. Ktoś chce zostać lekarzem, ktoś jest sportowcem, a ktoś może chcieć zostać alpinistą. W końcu wysokość zawsze przyciągała ludzi. Przypomnijcie sobie Ikara, bo jego marzeniem był lot do Słońca. I zrealizował swoje marzenie. Istotą człowieka jest zawsze osiągać zamierzony cel. Motto naszej lekcji to słowa z piosenki, której słuchałeś.

Jak w ciągu dnia błyszczy ogniem wiecznym
Szczyt szmaragdowego lodu,
Którego nigdy nie pokonałeś.

V.V. Wysocki

Dziś na zajęciach zapraszam na wyprawę na zdobywanie górskich szczytów. Trzeba przemienić się w alpinistę zdobywającego szczyt wiedzy zwany „Stopniem z wykładnikiem ułamkowym” (slajd 3).

Aktywności uczniów:Uczniowie zapisują temat zajęć w zeszytach ćwiczeń.

1. Aktualizacja wiedzy referencyjnej

Nauczyciel: Przed każdym z Was znajduje się karta – licznik, w którym będziecie odnotowywać swoje sukcesy w zdobywaniu górskich szczytów(Aneks 1) . Wpisz swoje imię i nazwisko w górnym wierszu. Na tej karcie zapiszesz w punktach przejście każdej wysokości. Na koniec lekcji samodzielnie obliczysz punkty, które zdobyłeś za lekcję i dowiesz się, czy udało ci się pokonać „wysokość góry”, czy nie.

Sprawdzanie sprzętu: „Co zabierzemy ze sobą w podróż?”(slajd 4).

Nauczyciel: Jak wiadomo, wyprawę zawsze poprzedza staranne przygotowanie, dlatego na początek radzę sprawdzić swoją gotowość do zdobycia górskiego szczytu.

1) Kontynuuj zdanie: Jeśli jest ułamkiem zwykłym (q ≠1) i a ≥ 0, to poniżej a p/q rozumiem...

2) Oblicz ustnie: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Zadania można wcześniej zapisać na tablicy lub przedstawić w formie kart)

3) Kontynuuj z następującymi właściwościami (Zadania można wcześniej zapisać na tablicy)

za s ∙ za t = …

za s: za t =…

(as) t =…

(ab)s =…

() s = ...

4) Oblicz ustnie:(Zadanie można wcześniej zapisać na tablicy)

Nauczyciel: Tak więc sprzęt jest zbierany. Wyruszamy w góry, aby zdobywać górskie szczyty.

1. Zdobywanie szczytów

Pierwsza wysokość „Lawina śnieżna”(Autotest)

Nauczyciel: Wszelkie góry są równie piękne, co niebezpieczne. W górach na wspinaczy czyha wiele niebezpieczeństw. Pierwszą rzeczą, z którą będziemy musieli się zmierzyć w górach, jest lawina (slajd 5). Aby wydostać się spod śniegu, musisz wykonać następujące zadanie.

Aktywności uczniów:Uczniowie otrzymują zadanie dla dwóch opcji i samodzielnie realizują je w zeszytach ćwiczeń. (Każdy uczeń otrzymuje swoje zadanie na karcie.) Dwóch uczniów pracuje z tyłu tablicy. Wykonanie zadania zajmie 5–7 minut.

opcja 1

Opcja 2

1. Oblicz: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
2. Uprość wyrażenie: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

Po zakończeniu pracy uczniowie, którzy pracowali przy tablicy, odwracają tablicę. Ich pracę sprawdza nauczyciel. Studenci pracujący w zeszytach dokonują samotestów. Oznacza to, że każdy uczeń samodzielnie sprawdza poprawność swojego zadania na podstawie rozwiązania na tablicy. Każde poprawnie wykonane zadanie jest warte 2 punkty. Punkty zdobyte za ukończenie „Lawiny śnieżnej” zapisywane są na karcie licznika.

Minuta wychowania fizycznego.

Nauczyciel: Zdobywanie górskich szczytów to bardzo trudne zadanie. Wszyscy byliśmy bardzo zmęczeni uwalnianiem się z opadów śniegu. Sugeruję, żebyś zrobił sobie przerwę.

Ćwiczenia „No dalej, spróbuj!”:

Nauczyciel zachęca uczniów, aby wyciągnęli rękę do przodu otwartą dłonią skierowaną do góry. Wciśnij kciuk w dłoń. Pozostałe palce należy obrócić. Teraz naciśnij swój mały palec. Stało się? Bynajmniej!

Druga wysokość „Ice Crack”(Praca w grupach)

Nauczyciel: Kiedy odpoczywaliśmy, na naszej drodze pojawiła się szczelina lodowa (slajd 6). Czy wiesz, jak wspinacze zachowują się w takiej sytuacji?

Przykładowe odpowiedzi uczniów:Wspinacze pomagają sobie nawzajem... Aby wyciągnąć wspinacza ze szczeliny, rzucają mu linę... Pracują razem... Bardzo trudno jest wyjść samemu, potrzebna jest pomoc przyjaciela….

Nauczyciel: Z Waszych odpowiedzi wynika, że ​​aby wydostać się z pęknięcia lodowego, trzeba pracować zespołowo. Zatem ty i ja kolejne zadanie wykonamy w grupach.

Aktywności uczniów:Klasa podzielona jest na grupy 4–5 osobowe. Każda grupa otrzymuje kartę z zadaniami, w których popełniła błędy. Uczniowie muszą je znaleźć i poprawić. Wykonanie zadania zajmie 5–7 minut.

Karta 1

Znajdź błędy

1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Karta 2

Znajdź błędy

Karta 3

Znajdź błędy

1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1 )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Karta 4

Znajdź błędy

Po zakończeniu pracy nauczyciele zgłaszają nauczycielowi znalezione i skorygowane błędy. Nauczyciel sprawdza poprawność zadania. Za każdy poprawiony błąd każdemu członkowi grupy przyznawane są 2 punkty. Punkty zdobyte za ukończenie „Pęknięcia Lodu” zapisywane są na karcie licznika.

Trzecia wysokość „Rockfall”(praca indywidualna zróżnicowana).

Nauczyciel: Zanim zdążyliśmy wydostać się z pęknięcia lodowego, uderzył w nas opad skały (slajd 7). Gruz trzeba uprzątnąć. Wszystkie kamienie są różne: duże i małe. Niektórzy będą nosić małe kamienie, a inni duże. Każdy wybierze zadanie według swoich sił.

Aktywności uczniów:Studenci otrzymują do wyboru zróżnicowane zadania o różnym stopniu złożoności.

Ci, którzy wybrali „duże kamienie”, otrzymują zadania wyższego poziomu na indywidualnych kartach. Na podstawie wyników wykonania tego zadania będą mogli zdobyć aż 8 punktów. Każde poprawnie wykonane zadanie jest warte 2 punkty.

opcja 1

Zmniejsz ułamek:

A) ; B) ; C) ; D)

Opcja 2

Zmniejsz ułamek:

Po zakończeniu pracy nauczyciel sprawdza poprawność zadania.

A ci, którzy wybrali „małe kamienie”, wykonują zadania z poziomu podstawowego w formie testu (zobacz interaktywny test na dysku lub w Załącznik 2 ). Na podstawie wyników wykonania tego zadania mogą zdobyć maksymalnie 5 punktów.

Punkty zdobyte za ukończenie „Rockfall” są zapisywane na karcie licznika.

1. Podsumowując grę:

Nauczyciel: Drodzy „wspinacze”! Obliczmy punkty, które zdobyłeś na podstawie wyników trzech testów.

Aktywności uczniów:Uczniowie liczą zdobyte punkty i zapisują je w kolumnie „Wynik ogólny”.

Nauczyciel: Podsumujmy (slajd 8). Jeśli zdobyłeś 18-20 punktów, to zdobyłeś najwyższy szczyt - brawo (znakomita ocena)! Jeśli zdobyłeś 15 - 17 punktów, pokonałeś drugą wysokość, dobrze ( ocena dobra) . Jeśli 11 - 14 punktów oznacza, że ​​pokonałeś tylko pierwszą wysokość, to też nie jest źle (ocena zadowalająca). Jeśli zdobyłeś mniej niż 11 punktów, pozostawałeś na dole szczytu. Ale nie denerwuj się! Jeszcze raz musisz przejść trening i powtórzyć wspinaczkę, szczyt jeszcze przed tobą!

Aktywności uczniów:Uczniowie, zgodnie z oceną, wystawiają sobie ocenę za lekcję w kolumnie „Ocena” i przekazują nauczycielowi swoją kartę - licznik.

Nauczyciel (według własnego uznania)przenosi te oceny do dziennika.

1. Praca domowa:§ 37; nr 37,28; nr 37,30ag; nr 37,39*b

Nr 37.28. Skróć ułamek: a); B) ; V) ; G) .

Nr 37,30ag. Uprość wyrażenie: a) (1 +) 2 - 2; d) + - ( + ) 2

nr 37,39*b. Uprość wyrażenie: b) ( + )

1. Refleksja na temat osiągnięcia celu:

Nauczyciel: Teraz poproszę Cię o kontynuację jednej lub kilku fraz (slajd 9)

• To było ciekawe…
• to było trudne…
• Wykonałem zadania...
• Dałem radę …
• dał mi nauczkę na całe życie...

Aktywności uczniów:Uczniowie kontynuują jedno lub więcej wyrażeń według uznania.

Nauczyciel: Nasza lekcja zaczęła się od piosenki, a ja chcę ją zakończyć poezją(slajd 10) . Czyta wiersz.

Dążenie serca do szczytu jest zaszczytne,

Miło jest patrzeć na ziemię.

Wniebowstąpiony... Od teraz jesteś bohaterem i zwycięzcą

I wydaje się, że świat niebieski jest w naszych rękach.

Na szczycie pustynia, same mądre kamienie

Spokojnie patrzę na świecące gwiazdy...

Dla nich jesteś niczym, zagubionym wędrowcem,

W niewoli złudzeń, wątpliwych snów...

Szczyt daje poczucie latania,

Wolność od wiecznego zgiełku świata,

Bramy są otwarte do innej wiedzy...

Dojrzałość jego czystości jest ekscytująca...

Załącznik do planu zajęć„Uogólnienie pojęcia wykładnika”

Aneks 1.

Karta – licznik __________________________ (Nazwisko, imię)

Załącznik 2.

Test

Wybierz jedną z sugerowanych odpowiedzi.

1. Uprość wyrażenie: (1 – s 1/2 )(1 + s 1/2 )

• (1 – z 1/2) 2
• 1 – s
• 1 – 2s 1/2 + s

1. Uprość wyrażenie: (1 – a 1/2 ) 2

• 1 – a + a 2

• – 2a + za 2

• 1 – 2a 1/2 + a

1. Uwzględnij: 3/4 – do 1/2

• w 3/4 (1 – cal)
• w 1/2 (w 1/4 – 1)
• w 1/2 (w 1/2 – 1)
• nie można rozłożyć

1. Rozłóż na czynniki: a – b

• aw (a 1/2 – w 1/2)
• (a – w 1/2) (a + w 1/2)
• nie można rozłożyć
• (a 1/2 – w 1/2) (a 1/2 + w 1/2)

Punktacja testu: 1 poprawna odpowiedź – 2 punkty; 2 poprawne odpowiedzi – 3 punkty;3 poprawne odpowiedzi – 4 punkty; 4 prawidłowa odpowiedź – 5 punktów.

Lekcja i prezentacja na temat: „Uogólnienie pojęć o wykładnikach”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9–11
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Chłopaki, w tej lekcji będziemy uogólniać wiedzę na temat wykładników. Możemy obliczyć potęgę z dowolnym wykładnikiem całkowitym. A co jeśli wykładnik nie jest liczbą całkowitą? A jaki jest związek między pierwiastkami i funkcjami potęgowymi wykładnika niecałkowitego?

Powtórzmy trochę, rozważmy liczbę w postaci $a^n$.
1. Jeśli $n=0$, to $a^n=a^0=1$.
2. Jeśli $n=1$, to $a^n=a^1=a$.
3. Jeśli $n=2,3,4,5$… to $a^n=a*a*a…*a$ (n czynników).
4. Jeśli $n=1,2,3,4,5$… i $a≠0$, to $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Powyższe zasady można potraktować także jako przypomnienie!

We wszystkich regułach przedstawionych powyżej wykładnik jest liczbą całkowitą. Co zrobić w przypadku wykładnika ułamkowego?
Jaka jest liczba $2^(\frac(2)(3))$ i jak z nią pracować? Podczas pracy z takimi potęgami konieczne jest zachowanie wszystkich właściwości potęg całkowitych. Na przykład, podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki zostały pomnożone.

Na przykład: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Wprowadźmy następującą zamianę symboli: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Następnie: $a^3=2^2$.
Otrzymujemy: $a=\sqrt(2^2)$.
Oznacza to, że oryginalne wyrażenie możemy przedstawić w następującej postaci: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Definicja. Otrzymamy ułamek zwykły $\frac(a)(b)$, $b≠1$ i $x≥0$, wtedy $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.

Na przykład: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Pomnóżmy dwie liczby o tych samych podstawach, ale różnych potęgach:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Ale zauważamy również: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
To znaczy: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Dodawanie ułamków jest znacznie łatwiejsze niż praca z pierwiastkami (trzeba doprowadzić wykładniki do tej samej postaci, a następnie po prostu pomnożyć). Dlatego zwyczajowo przełącza się na funkcje potęgowe z wykładnikiem ułamkowym.

Przykład.
Oblicz:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Rozwiązanie.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Z liczby dodatniej możemy wyodrębnić tylko pierwiastek z wykładnikiem ułamkowym, spójrzcie na naszą definicję. Nasze wyrażenie nie ma sensu.
Wydaje się, że $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ jest poprawnym zapisem, ale przyjrzyjmy się bliżej naszemu wyrażeniu: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Otrzymaliśmy wyrażenie sprzeczne, chociaż wszystkie operacje zostały wykonane poprawnie, zgodnie z właściwościami i definicjami. Dlatego matematycy zabraniali podnoszenia liczb ujemnych do potęg ułamkowych.

Chłopaki, pamiętajcie: Liczby dodatnie możemy podnieść tylko do potęg ułamkowych!

Definicja. Niech zostanie podany ułamek zwykły $\frac(a)(b)$, $b≠1$ i $х>0$, wtedy $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

Na przykład: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Wszystkie właściwości, które napotkaliśmy podczas pracy z liczbami potęgowymi, są zachowane w przypadku potęg wymiernych, powtórzmy właściwości.

Dajmy sobie liczby dodatnie $a>0$ i $b>0$, x i y są dowolnymi liczbami wymiernymi, wówczas zachodzi 5 następujących własności:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Przykład.
Uprość wyrażenie: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Rozwiązanie.
Zapiszmy liczniki w postaci funkcji potęgowych:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Sprowadźmy to do wspólnego mianownika:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2))))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Przykład.
Rozwiąż równania:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Rozwiązanie.
a) Podnieś obie strony równania do potęgi piątej:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) Nasze równanie jest bardzo podobne do poprzednich. Jeśli przejdziemy od zapisywania pierwiastków do funkcji potęgowych, to zapis będzie identyczny, warto jednak wziąć pod uwagę, że od razu otrzymujemy wyrażenie potęgowe. Z definicji liczba x może być tylko dodatnia, wówczas pozostaje nam jedna odpowiedź $x=1$.

Przykład.
Rozwiąż równanie: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy nową zmienną: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Wtedy nasze równanie przyjmie postać zwykłego równania kwadratowego: $y^2+y-12=0$.
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy dwa pierwiastki: $y_1=-4$ i $y_2=3$.

Musimy tylko rozwiązać dwa równania: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ i $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Pierwsze równanie nie ma pierwiastków. Przypomnijmy, że funkcje potęgowe z wykładnikiem wymiernym definiuje się tylko dla liczb dodatnich.
Rozwiążmy drugie równanie:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Chłopaki, przyjrzeliśmy się dwóm przykładom rozwiązywania równań irracjonalnych.

Wymieńmy główne metody rozwiązywania równań irracjonalnych.
1) Podnoszenie obu stron równania do tej samej potęgi(korzystając z tej metody, należy sprawdzić uzyskane rozwiązania, ponieważ mogą pojawić się obce rozwiązania).
2) Zmienna metoda wymiany(wprowadzenie nowych zmiennych).
3) Rysowanie wykresów funkcji. Obie strony równania przedstawiamy jako funkcje, konstruujemy ich wykresy i znajdujemy punkty przecięcia wykresów.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

Podręcznik zawiera samodzielne i testowe prace dotyczące wszystkich najważniejszych zagadnień z kursu matematyki dla klas 10-11. Prace składają się z 6 opcji o trzech poziomach trudności. Materiały dydaktyczne przeznaczone są do organizowania zróżnicowanej, samodzielnej pracy studentów.

Przykłady.
W pudełku jest 10 kul, z czego 3 są białe. Pojedyncza kula jest kolejno wyjmowana z pudełka, aż pojawi się biała kula. Znajdź prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli.

Trzej strzelcy strzelają do tego samego celu po 2 razy każdy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo trafienia każdego strzelca wynosi 0,5 i nie zależy od wyników innych strzelców i poprzednich strzałów. Czy można powiedzieć
z prawdopodobieństwem 0,99, że co najmniej jeden strzał trafi w cel?
z prawdopodobieństwem 0,5, że każdy strzelec przynajmniej raz trafi w cel?

TREŚĆ
Trygonometria
S-1. Definicja i własności funkcji trygonometrycznych. Stopnie i radiany miary kąta
S-2. Tożsamości trygonometryczne
S-3. Formuły redukcyjne. Formuły dodawania
S-4. Wzory na kąt podwójny i półkątny
S-5. Wzory trygonometryczne służące do przeliczania sumy na iloczyn i iloczynu na sumę
S-6*. Dodatkowe zadania z trygonometrii (samodzielna praca domowa)
K-1. Konwersja wyrażeń trygonometrycznych
S-7. Ogólne własności funkcji. Transformacje wykresów funkcji
S-8. Parzystość i okresowość funkcji
S-9. Monotonia funkcji. Skrajności C-10*. Badanie funkcji. Oscylacje harmoniczne (ćwiczenie w domu)
K-2. Funkcje trygonometryczne
S-11. Odwrotne funkcje trygonometryczne __
S-12*. Zastosowanie właściwości odwrotnych funkcji trygonometrycznych (samodzielna praca domowa)
S-13. Najprostsze równania trygonometryczne
S-14. Równania trygonometryczne
S-15. Dobór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych. Układy równań trygonometrycznych
S-16*. Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych (samodzielna praca domowa)
S-17*. Układy równań trygonometrycznych (samodzielna praca domowa)
S-18. Najprostsze nierówności trygonometryczne
S-19*. Metody rozwiązywania nierówności trygonometrycznych (samodzielna praca domowa)
K-3. Równania trygonometryczne, nierówności, układy
Algebra
S-20. N-ty pierwiastek i jego właściwości
S-21. Równania irracjonalne
S-22. Nieracjonalne nierówności. Układy równań niewymiernych
S-23*. Metody rozwiązywania równań irracjonalnych, nierówności, układów (samodzielna praca domowa)
S-24. Uogólnienie pojęcia stopnia
K-4. Moce i korzenie
S-25. Równania wykładnicze. Układy równań wykładniczych
S-26. Nierówności wykładnicze
S-27*. Metody rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych (samodzielna praca domowa)
S-28*. Równania i nierówności potęg wykładniczych (samodzielna praca domowa)
K-5. Funkcja wykładnicza
S-29. Logarytm. Własności logarytmów
S-30. Równania i układy logarytmiczne
S-31*. Zastosowanie logarytmów w rozwiązywaniu równań i układów przestępnych (samodzielna praca domowa)
S-32. Nierówności logarytmiczne
S-33*. Metody rozwiązywania równań logarytmicznych, nierówności, układów (samodzielna praca domowa)
K-6. Funkcja logarytmiczna
S-34. Uogólnienie koncepcji modułu. Równania i nierówności z modułem
Początek analizy
S-35. Obliczanie granic ciągów liczbowych i funkcji. Ciągłość funkcji
S-36. Definicja pochodnej. Najprostsze zasady obliczania instrumentów pochodnych
S-37. Pochodne funkcji trygonometrycznych i zespolonych
S-38. Geometryczne i mechaniczne znaczenie pochodnej
K-7. Pochodna
S-39. Badanie funkcji monotoniczności i ekstremów
S-40*. Dodatkowe badanie funkcji (samodzielna praca w domu)
S-41*. Rysowanie wykresów funkcji (praktyka domowa)
S-42. Największe i najmniejsze wartości funkcji. Ekstremalne wyzwania
S-43*. Wybrane zagadnienia rachunku różniczkowego (samodzielna praca domowa)
K-8. Zastosowanie pochodnej
S-44. Funkcja pierwotna. Obliczanie funkcji pierwotnych
S-45. Określona całka. Obliczanie pól za pomocą całki oznaczonej
S-46. Zastosowanie funkcji pierwotnej i całki
S-47*. Wybrane zagadnienia rachunku całkowego (samodzielna praca domowa)
K-9. Funkcja pierwotna i całkowa
S-48. Pochodna i funkcja pierwotna funkcji wykładniczej
S-49. Pochodna i funkcja pierwotna funkcji logarytmicznej
S-50. Funkcja zasilania
S-51*. Dodatkowe problemy analizy matematycznej (samodzielna praca domowa)
K-10. Pochodna i funkcja pierwotna funkcji wykładniczych, logarytmicznych i potęgowych
Liczby zespolone
S-52. Pojęcie liczby zespolonej. Działania na liczbach zespolonych w formie algebraicznej
S-53. Moduł i argument liczby zespolonej. Działania na liczbach zespolonych w postaci geometrycznej
S-54. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wzór Moivre’a
S-55*. Dodatkowe zadania z liczbami zespolonymi (samodzielna praca domowa)
K-11. Liczby zespolone
Kombinatoryka
S-56. Tłumy. Ustaw operacje
S-57. Podstawowe wzory kombinatoryki. Najprostsze problemy kombinatoryczne
S-58. Dwumian newtona. Własności współczynników dwumianowych
S-59. Problemy kombinatoryczne. Reguła sumy i reguła iloczynu
S-60*. Zadania dodatkowe z kombinatoryki (samodzielna praca domowa)
K-12. Elementy kombinatoryki
Teoria prawdopodobieństwa
S-61. Prawdopodobieństwo klasyczne. Stosowanie wzorów kombinatoryki przy obliczaniu prawdopodobieństwa
S-62. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństwa
S-63. Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z niezależnych zdarzeń. Schemat Bernoulliego
S-64*. Dodatkowe rozdziały teorii prawdopodobieństwa (samodzielna praca domowa)
K-13. Elementy teorii prawdopodobieństwa
ODPOWIEDZI
Odpowiedzi na testy
Odpowiedzi na pytania niezależne od domu
praca
LITERATURA.

Pobierz e-book za darmo w wygodnym formacie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Niezależna i testowa praca z algebry i zasad analizy, klasy 10-11, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.

Cel lekcji:

1. Uogólnianie i systematyzacja wiedzy, umiejętności i zdolności.
2. Aktualizacja podstawowej wiedzy w warunkach zdania Unified State Exam.
3. Monitorowanie i samokontrola wiedzy, umiejętności i zdolności za pomocą testów.
4. Rozwijanie umiejętności porównywania i uogólniania.

Plan lekcji.

1. Oświadczenie o celu lekcji (1 min)
2. Praca ustna „Wierzę - nie wierzę!” (6 minut)
3. Rozwiązywanie serii przykładów w celu porównania wyrażeń (12 min)
4. Sofistyka (4–5 min)
5. Rozwiązanie przykładu upraszczającego wyrażenie (z egzaminu Unified State Examination) wraz z omówieniem najbardziej „subtelnych” części (15 min)
6. Samodzielna praca w oparciu o wersję demonstracyjną Unified State Exam (grupa A) (5 min)
7. Praca domowa (na kartkach papieru)

Wyposażenie: projektor.

1. Przyjaciele! Przed oczami znajduje się fragment wypowiedzi angielskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra (1814–1897) na temat matematyki: „Matematyka jest muzyką umysłu”. Czyż nie jest to romantyczne?

Pytanie. Jak myślisz, jak zdefiniował muzykę?

„Muzyka to matematyka uczuć”.

Do uczuć możemy zaliczać różnego rodzaju doświadczenia. W tym roku jednym z powodów Waszych i moich zmartwień jest pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam i w efekcie przyjęcie na uniwersytet. Bardzo chcę, żeby zwyciężyły pozytywne emocje. Musi być pewność siebie, a to jest nasza wiedza i umiejętności. Dzisiaj na zajęciach będziemy kontynuować przygotowania do Unified State Exam, powtarzając i uogólniając koncepcję stopnia naukowego.

A więc tematem dzisiejszej lekcji jest „Uogólnienie pojęcia stopnia”.

Podstawowe właściwości i definicje już powtórzyliśmy i zapraszam do zabawy „Wierzcie lub nie!”

Twoim zadaniem jest szybko (zdając się na swoją intuicję, pomoże to w rozwiązaniu grupy A) odpowiedzieć twierdząco lub przecząco na pytanie, a następnie uzasadnić swoją odpowiedź.

2. Praca ustna „Wierzę - nie wierzę!”

1. Wyrażenia mają znaczenie:

a) b) c) c) d)

3. Równanie ma trzy pierwiastki

(nie, pierwiastek to jeden: 7, ponieważ)

4. Najmniejszy pierwiastek równania 1

3. Rozwiązywanie serii przykładów w celu porównania ułamków. Teraz proponuję zwrócić uwagę na szereg przykładów porównywania stopni naukowych.

Pytanie. Jakie znasz sposoby porównywania stopni naukowych?

Porównanie wskaźników o tych samych podstawach, porównanie baz o tych samych wykładnikach.

1. Porównaj I .

2. Porównaj liczby I .

Jak widać sprawa jest bardziej skomplikowana.

Pytanie. Jakie liczby są wykładnikami?

Irracjonalny.

Znajdźmy liczby wymierne, które są zbliżone do podanych liczb niewymiernych i spróbujmy porównać potęgi z wykładnikiem wymiernym.

Ponieważ podstawa stopnia jest większa niż 1, to według własności stopni mamy

Porównajmy teraz i .

Aby to zrobić, wystarczy porównać i 2 lub i.

Ale , A .

Otrzymujemy teraz łańcuch nierówności:

3. Porównaj liczby I .

Skorzystajmy z własności pierwiastków: jeśli , to , gdzie .

Porównajmy i .

Oceńmy ich postawę:

Zatem, .

Notatki.

1) W tym przypadku stopnie i są małe, a mianowicie

, a nie są trudne do obliczenia „ręcznie”, tj. bez kalkulatora. Możesz oszacować stopnie bez obliczeń:

Dlatego,

2) Jeśli naprawdę nie da się obliczyć stopni (nawet na kalkulatorze), np. i , to możesz skorzystać z nierówności:

Prawda dla każdego i wykonaj następujące czynności:

ze wszystkim naturalnym.

Możesz to sam udowodnić

4. Sofistyka. Cóż, przejdźmy do innej pracy. Znajdźmy błąd w następującym rozumowaniu, obalając twierdzenie:

„Jeden jest równy nieskończenie dużemu stopniowi dowolnej liczby”.

Jak wiadomo, jednostka podniesiona do dowolnej potęgi, w tym zera, jest równa jeden, tj. gdzie A- Jakikolwiek numer. Zobaczmy jednak, czy tak jest zawsze.

Pozwalać X– liczba dowolna. Przez proste mnożenie łatwo sprawdzić, że wyrażenie (1) jest tożsamością dowolnego X. Wtedy tożsamość wynikająca z (1) jest również prawdziwa, a mianowicie . (2)

Dla dowolnej liczby dodatniej A istnieje.

Równość (2) implikuje równość

,

lub, co jest takie samo,

. (3)

Zakładając tożsamość (3) x=3, otrzymujemy

, (4)

i biorąc to pod uwagę , rozumiemy to.

Zatem potęga jedności, nawet gdy wykładnik jest równy nieskończoności, jest równa dowolnej liczbie, ale w żadnym wypadku nie jest równa jedności, jak wymagają tego zasady algebry.

Rozwiązanie.

Błąd jest następujący.

Równość (1) rzeczywiście obowiązuje dla wszystkich wartości X i dlatego jest tożsamością. Uzyskana z tego równość (2) nie obowiązuje już dla wszystkich wartości X. Więc, X nie może być równe 2. ponieważ mianowniki po lewej i prawej stronie (2) stają się zerem, oraz X nie może być równe 3, ponieważ mianownik po prawej stronie (2) również staje się zerem. Na x = 3 równość (2) przyjmuje formę , co nie ma sensu.

Zależność (4) otrzymuje się z (3) dokładnie w x = 3 co doprowadziło do absurdalnego rezultatu.

No cóż, przenieśmy się teraz do roku 2004, kiedy w zadaniu C3 zaproponowano następującą liczbę.

5. Rozwiązanie przykładu (z Unified State Examination).

Ponieważ f(x) jest funkcją rosnącą, to .

Dowiedzmy się, która z tych wartości jest bliższa 0,7, dla której porównujemy

I

Ponieważ , wartość f(26) jest bliższa 0,7.

6. Samodzielna praca, po której następuje sprawdzenie na tablicy.

A teraz czas na praktykę: oto przykłady z wersji demonstracyjnej gr. A 2009.

Widzimy je zarówno na tablicy, jak i na kartkach papieru. Twoim zadaniem jest szybkie rozwiązanie i wypełnienie tabel odpowiedziami. Dopasuj litery i cyfry przed sobą. Poprawnie obliczając lub upraszczając wyrażenia w tabeli, przeczytasz, czego potrzebujesz, zdając egzamin Unified State Exam.

Opcja 1 – szczęście, wiedza,

Opcja 2 – pewność siebie.

Tak więc dzisiaj na zajęciach widzieliśmy, jak powszechnie używa się pojęcia stopnia naukowego w przypadku zdania jednolitego egzaminu państwowego. Zdobyte umiejętności możesz utrwalić odrabiając prace domowe.

7. Praca domowa.

Zwracaj uwagę na swoje prace domowe, pomoże Ci to utrwalić materiał, który omawialiśmy na zajęciach.