1. Viena no aktuālākajām mūsdienu mācību metožu problēmām skolā ir skolēnu motivācijas attīstība. Garīgās slodzes palielināšanās matemātikas stundās liek domāt par to, kā saglabāt skolēnu interesi par apgūstamo materiālu un aktivitāti visas stundas garumā. Mums jānodrošina, lai katrs skolēns nodarbībās strādātu aktīvi un entuziastiski. Šajā situācijā skolotājam palīgā nāk spēļu tehnoloģijas - mūsdienīga un atzīta mācību un audzināšanas metode, kurai ir izglītojošas, attīstošas ​​un audzinošas funkcijas, kas darbojas organiskā vienotībā. Spēļu pasniegšanas formas matemātikas stundās ļauj efektīvi organizēt mijiedarbību starp skolotāju un skolēniem. Pat pasīvākie skolēni iesaistās spēlē. Spēļu aktivitātes motivē mācīties, spēles laikā katrs skolēns iegūst iespēju patstāvīgi domāt, attīstīt radošo domāšanu un risināt dažādas problēmas (tas ir, iegūtās zināšanas pielietot konkrētā dzīves situācijā).

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Pašvaldības budžeta izglītības iestāde 24. vidusskola ar nosaukto atsevišķo humanitāro priekšmetu padziļinātu apguvi. I.S. Turgeņevs, Oriols

Nodarbības metodiskā izstrāde

Algebra un analīzes sākums

11. klase

Mācību grāmata: Mordkovičs A.G. Algebra un analīzes sākums. 10 -11 klase: Mācību grāmata. Vispārējai izglītībai iestādēm. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 lpp.: ill. (bāze)

Matemātikas skolotāja: Moreva Oksana Vladimirovna

Darba kopsavilkums: Viena no mūsdienu mācību metožu aktuālajām problēmām skolā ir skolēnu motivācijas attīstība. Garīgās slodzes palielināšanās matemātikas stundās liek domāt par to, kā saglabāt skolēnu interesi par apgūstamo materiālu un aktivitāti visas stundas garumā. Mums jānodrošina, lai katrs skolēns nodarbībās strādātu aktīvi un entuziastiski. Šajā situācijā skolotājam palīgā nāk spēļu tehnoloģijas - mūsdienīga un atzīta mācību un audzināšanas metode, kurai ir izglītojošas, attīstošas ​​un audzinošas funkcijas, kas darbojas organiskā vienotībā. Spēļu pasniegšanas formas matemātikas stundās ļauj efektīvi organizēt mijiedarbību starp skolotāju un skolēniem. Pat pasīvākie skolēni iesaistās spēlē. Spēļu aktivitātes motivē mācīties, spēles laikā katrs skolēns iegūst iespēju patstāvīgi domāt, attīstīt radošo domāšanu un risināt dažādas problēmas (tas ir, iegūtās zināšanas pielietot konkrētā dzīves situācijā).

Tehnoloģisko stundu karte

Nodarbības plāns

1. Organizatoriskais brīdis (2-3 min.)
2. Pamatzināšanu papildināšana (5 min.)
3. “Pīķu iekarošana” (30 min.)

• Pirmais augums (pašpārbaude)
• Otrais augstums (grupu darbs)
• Trešais augums (individuāls diferencēts darbs).

1. Kopsavilkums (4–5 min.)
2. Mājas darbs (2-3 min.)
3. Pārdomas par mērķa sasniegšanu (1 min.)

Nodarbību laikā:

1. Laika organizēšana

Nodarbība sākas ar fragmenta noklausīšanos no V. V. Visocka dziesmas “Tikai kalni var būt labāki par kalniem” (2. slaids).

Skolotājs: Ikvienam dzīvē ir virsotnes, kuras viņi cenšas iekarot. Kāds vēlas kļūt par ārstu, kāds ir sportists, un kāds vēlas kļūt par kalnos kāpēju. Galu galā augstumi vienmēr ir piesaistījuši cilvēkus. Atcerieties Ikaru, jo viņa sapnis bija lidot uz Sauli. Un viņš piepildīja savu sapni. Cilvēka būtība ir vienmēr sasniegt iecerēto mērķi. Mūsu nodarbības epigrāfs ir vārdi no dziesmas, kuru klausījāties.

Kā tas pa dienu dzirkstī mūžīgā ugunī
smaragda ledus virsotne,
Kuru jūs nekad neesat uzvarējis.

V.V.Vysotskis

Šodien klasē aicinu jūs uz kalnu virsotņu iekarošanas ekspedīciju. Jums ir jāpārtop par alpīnisma sportistiem, kas iekaro zināšanu virsotni, ko sauc par “Grādi ar daļskaitli” (3. slaids).

Studentu aktivitātes:Skolēni savā darba burtnīcā pieraksta stundas tēmu.

1. Atsauces zināšanu papildināšana

Skolotājs: Katram no jums priekšā ir kārts – skaitītājs, kurā ierakstīsiet savus panākumus kalnu virsotņu iekarošanā(1.pielikums) . Augšējā rindā ievadiet savu vārdu un uzvārdu. Šajā kartē jūs ierakstīsit katra augstuma pāreju punktos. Nodarbības beigās jūs patstāvīgi aprēķināsiet par nodarbību iegūtos punktus un uzzināsiet, vai jums izdevās iekarot “kalna augstumu” vai ne.

Aprīkojuma pārbaude: "Ko mēs ņemsim līdzi ceļā?"(4. slaids).

Skolotājs: Kā zināms, pirms ekspedīcijas vienmēr ir rūpīgi jāsagatavojas, tāpēc sākumā iesaku pārbaudīt gatavību iekarot kalna virsotni.

1) Turpiniet frāzi: Ja ir parasta daļa (q ≠1) un a ≥ 0, tad zem a p/q saprotu...

2) Aprēķiniet mutiski: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Uzdevumus var iepriekš pierakstīt uz tāfeles vai uzrādīt kartīšu veidā)

3) Turpiniet ar šādiem rekvizītiem (uzdevumus iepriekš var uzrakstīt uz tāfeles)

a s ∙ a t = …

a s : a t = …

(a s ) t = …

(ab)s = …

() s = ...

4) Aprēķiniet mutiski:(Uzdevumu iepriekš var uzrakstīt uz tāfeles)

Skolotājs: Tātad, aprīkojums tiek savākts. Dodamies uz kalniem, lai iekarotu kalnu virsotnes.

1. Virsotņu iekarošana

Pirmais augstums "Sniega lavīna"(Pašpārbaude)

Skolotājs: Jebkuri kalni ir tikpat skaisti, cik bīstami. Alpīnistus kalnos sagaida daudzas briesmas. Pirmā lieta, ar ko mums nāksies saskarties kalnos, ir lavīna (5. slaids). Lai izkļūtu no sniega apakšas, jāizpilda šāds uzdevums.

Studentu aktivitātes:Studenti saņem uzdevumu divām iespējām un patstāvīgi izpilda to savās darba burtnīcās. (Katrs skolēns saņem savu uzdevumu kartītē.) Divi studenti strādā no tāfeles aizmugures. Uzdevuma izpilde prasīs 5–7 minūtes.

1. iespēja

2. iespēja

1. Aprēķināt: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
2. Vienkāršojiet izteiksmi: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

Darba beigās skolēni, kas strādāja pie tāfeles, pagriež tāfeli. Viņu darbu pārbauda skolotājs. Studenti, kuri strādāja pie piezīmju grāmatiņām, veic pašpārbaudes. Tas ir, katrs students patstāvīgi pārbauda sava uzdevuma pareizību, pamatojoties uz risinājumu uz tāfeles. Katrs pareizi izpildīts uzdevums ir 2 punktu vērts. Par "Sniega lavīnas" veikšanu iegūtie punkti tiek ierakstīti skaitītāju kartītē.

Fiziskās audzināšanas minūte.

Skolotājs: Kalnu virsotņu iekarošana ir ļoti grūts uzdevums. Mēs visi bijām ļoti noguruši, atbrīvojoties no sniegputeņa. Iesaku paņemt pārtraukumu.

Vingrinājums “Nāc, izmēģini!”:

Skolotājs aicina skolēnus izstiept roku uz priekšu ar atvērtu plaukstu uz augšu. Iespiediet īkšķi plaukstā. Atlikušie pirksti ir jāizgriež. Tagad nospiediet mazo pirkstu. Vai notika? Ne tā!

Otrais augstums "Ice Crack"(darbs grupās)

Skolotājs: Kamēr mēs atpūtāmies, mūsu ceļā parādījās ledus plaisa (6. slaids). Vai zināt, kā alpīnisti rīkojas šādā situācijā?

Studentu atbilžu paraugi:Alpīnisti palīdz viens otram... Lai izceltu kāpēju no spraugas, viņi met viņam virvi... Viņi strādā kopā... Ir ļoti grūti izkļūt vienam, tev vajadzīga drauga palīdzība…….

Skolotājs: No jūsu atbildēm izriet, ka, lai izkļūtu no ledus plaisas, ir jāstrādā kā komandai. Tātad jūs un es veiksim nākamo uzdevumu grupās.

Studentu aktivitātes:Klase ir sadalīta grupās pa 4-5 cilvēkiem. Katra grupa saņem kartiņu ar uzdevumiem, kuros kļūdījās. Skolēniem tie jāatrod un jālabo. Uzdevuma izpilde prasīs 5–7 minūtes.

1. karte

Atrodiet kļūdas

1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p 2/3 - q 2/3) (p 2/3 + 2p 1/3 q 1/3 + q 2/3)

2. karte

Atrodiet kļūdas

3. karte

Atrodiet kļūdas

1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1) (x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

4. karte

Atrodiet kļūdas

Darba beigās skolotāji ziņo skolotājam par atrastajām un izlabotajām kļūdām. Skolotājs pārbauda uzdevuma pareizību. Par katru izlaboto kļūdu katram grupas dalībniekam tiek piešķirti 2 punkti. Punkti, kas iegūti par "Ledus plaisas" izpildi, tiek ierakstīti skaitītāja kartītē.

Trešais augstums "Rockfall"(individuāls diferencēts darbs).

Skolotājs: Pirms paspējām izkļūt no ledus plaisas, mūs piemeklēja akmens nokritums (7. slaids). Jāattīra gruveši. Visi akmeņi ir dažādi: lieli un mazi. Daži valkās mazus akmeņus, un daži valkās lielus. Katrs izvēlēsies uzdevumu atbilstoši saviem spēkiem.

Studentu aktivitātes:Studenti saņem dažādu grūtības pakāpes diferencētu uzdevumu izvēli.

Tie, kas izvēlējās “lielos akmeņus”, saņem augstāka līmeņa uzdevumus uz atsevišķām kartēm. Pamatojoties uz šī uzdevuma izpildes rezultātiem, viņi varēs nopelnīt līdz 8 punktiem. Katrs pareizi izpildīts uzdevums ir 2 punktu vērts.

1. iespēja

Samaziniet daļu:

A) ; b) ; c) ; d)

2. iespēja

Samaziniet daļu:

Darba beigās skolotājs pārbauda uzdevuma pareizību.

Un tie, kas izvēlējās “mazos akmeņus”, pamata līmeņa uzdevumus veic testa veidā (skat. interaktīvo testu diskā vai 2. pielikums ). Pamatojoties uz šī uzdevuma izpildes rezultātiem, viņi var nopelnīt līdz 5 punktiem.

Punkti, kas iegūti par "Rockfall" izpildi, tiek ierakstīti skaitītāja kartītē.

1. Apkopojot spēli:

Skolotājs: Cienījamie "alpīnisti"! Aprēķināsim jūsu iegūtos punktus, pamatojoties uz trīs testu rezultātiem.

Studentu aktivitātes:Skolēni saskaita iegūtos punktus un ieraksta tos ailē “Kopējais rezultāts”.

Skolotājs: Apkoposim (8. slaids). Ja esat ieguvis 18-20 punktus, tad esat iekarojis augstāko virsotni - labi darīts (teicama atzīme)! Ja ieguvāt 15-17 punktus, jūs iekarojāt otro augstumu, labi ( atzīmējiet labi) . Ja 11–14 punkti nozīmē, ka esat pārvarējis tikai pirmo augstumu, tas arī nav slikti (Atzīme apmierinoša). Ja guvi mazāk par 11 punktiem, tad paliki pīķa apakšā. Bet nevajag sarūgtināt! Jums atkal ir jāiziet treniņš un jāatkārto kāpums, jūsu virsotne jums vēl ir priekšā!

Studentu aktivitātes:Skolēni atbilstoši vērtējumam ieliek sev atzīmi par stundu kolonnā “Atzīmēt” un pasniedz skolotājam savu karti - skaitītāju.

Skolotājs (pēc jūsu ieskatiem)pārsūta šīs atzīmes uz žurnālu.

1. Mājasdarbs:37.§; Nr.37.28; Nr.37.30ag; Nr.37,39*b

Nr.37.28. Samaziniet daļu: a); b) ; V) ; G) .

Nr.37.30ag. Vienkāršojiet izteiksmi: a) (1 +) 2-2; d) + - ( + ) 2

Nr.37,39*b. Vienkāršojiet izteiksmi: b) ( + )

1. Pārdomas par mērķa sasniegšanu:

Skolotājs: Tagad es lūgšu jūs turpināt vienu vai vairākas frāzes (9. slaids)

• bija interesanti…
• bija grūti…
• Pabeidzu uzdevumus...
• Man izdevās …
• deva man mācību uz mūžu...

Studentu aktivitātes:Studenti turpina vienu vai vairākas frāzes pēc vēlēšanās.

Skolotājs: Mūsu stunda sākās ar dziesmu, un es vēlos to pabeigt ar dzeju(10. slaids) . Lasa dzejoli.

Sirds tiekšanās uz virsotni ir godājama,

Ir patīkami skatīties lejup uz zemi.

Augšupcelts... Tu esi varonis, no šī brīža uzvarētājs

Un šķiet, ka debesu pasaule ir mūsu rokās.

Virsotne ir tuksnesis, tikai gudri akmeņi

Mierīgi skatoties kā zvaigznes spīd...

Viņiem tu esi nekas, pazudis klejotājs,

Ilūziju, apšaubāmu sapņu gūstā...

Virsotne sniedz lidojuma sajūtu,

Brīvību no mūžīgās pasaules burzmas,

Vārti ir atvērti dažādām zināšanām...

Tā tīrības briedums ir aizraujošs...

Pielikums nodarbību plānam"Eksponenta jēdziena vispārināšana"

1.pielikums.

Karte – skaitītājs ______________________________ (Uzvārds, vārds)

2. pielikums.

Pārbaude

Izvēlieties vienu no piedāvātajām atbildēm.

1. Vienkāršojiet izteiksmi: (1 – s 1/2) (1 + s 1/2)

• (1 – ar 1/2) 2
• 1 – s
• 1 – 2s 1/2 + s

1. Vienkāršojiet izteiksmi: (1 – a 1/2 ) 2

• 1 - a + a 2

• – 2a + a 2

• 1 – 2a 1/2 + a

1. Ievērojiet: 3/4 – 1/2

• 3/4 (1 collā)
• 1/2 (1/4–1)
• 1/2 (1/2–1)
• nevar sadalīties

1. Faktorizēt: a – b

• aw (a 1/2 — in 1/2)
• (a — 1/2) (a + 1/2)
• nevar sadalīties
• (a 1/2 — 1/2) (a 1/2 + 1/2)

Ieskaites punktu vērtēšana: 1 pareizā atbilde – 2 punkti; 2 pareizās atbildes – 3 punkti;3 pareizās atbildes – 4 punkti; 4 pareizā atbilde – 5 punkti.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Jēdzienu vispārināšana par eksponentiem"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
Programmatūras vide "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Puiši, šajā nodarbībā mēs vispārināsim zināšanas par eksponentiem. Mēs varam aprēķināt jaudas ar jebkuru veselu eksponentu. Ko darīt, ja eksponents nav vesels skaitlis? Un kāda ir saistība starp nevesela skaitļa eksponenta saknēm un jaudas funkcijām?

Nedaudz atkārtosim, aplūkosim formas $a^n$ skaitli.
1. Ja $n=0$, tad $a^n=a^0=1$.
2. Ja $n=1$, tad $a^n=a^1=a$.
3. Ja $n=2,3,4,5$… tad $a^n=a*a*a…*a$ (n faktori).
4. Ja $n=1,2,3,4,5$… un $a≠0$, tad $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Iepriekš minētos noteikumus var izmantot arī kā atgādinājumu!

Visos iepriekš minētajos noteikumos eksponents ir vesels skaitlis. Ko darīt daļēja eksponenta gadījumā?
Kas ir skaitlis $2^(\frac(2)(3))$ un kā ar to strādāt? Strādājot ar šādām pakāpēm, ir jāsaglabā visi veselo skaitļu pakāpju rekvizīti. Piemēram, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tika reizināti.

Piemēram: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Ieviesīsim šādu simbolu aizstāšanu: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Pēc tam: $a^3=2^2$.
Mēs iegūstam: $a=\sqrt(2^2)$.
Tas nozīmē, ka mēs varam parādīt sākotnējo izteiksmi šādā formā: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Definīcija. Dosim mums parastu daļskaitli $\frac(a)(b)$, $b≠1$ un $x≥0$, tad $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.

Piemēram: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Sareizināsim divus skaitļus ar vienādām bāzēm, bet dažādām pakāpēm:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Bet mēs arī atzīmējam: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
Tas ir: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Daļskaitļu pievienošana ir daudz vienkāršāka nekā darbs ar radikāļiem (jums ir jāsavieno eksponenti vienā formā un pēc tam vienkārši jāreizina). Tāpēc ir ierasts pārslēgties uz jaudas funkcijām ar daļskaitli.

Piemērs.
Aprēķināt:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Risinājums.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Mēs varam iegūt tikai sakni ar daļēju eksponentu no pozitīva skaitļa, puiši, paskatieties uz mūsu definīciju. Mūsu izteiksmei nav jēgas.
Šķiet, ka $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ ir pareizais apzīmējums, taču apskatīsim tuvāk mūsu izteiksmi: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Mēs saņēmām pretrunīgu izteiksmi, lai gan visas darbības tika veiktas pareizi, atbilstoši īpašībām un definīcijām. Tāpēc matemātiķi aizliedza palielināt negatīvus skaitļus līdz daļskaitļiem.

Puiši, atcerieties: Mēs varam palielināt tikai pozitīvos skaitļus līdz daļskaitļiem!

Definīcija. Dota parastā daļa $\frac(a)(b)$, $b≠1$ un $х>0$, tad $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

Piemēram: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Visas īpašības, ar kurām saskārāmies, strādājot ar jaudas skaitļiem, tiek saglabātas racionālo pakāpju gadījumā, atkārtosim īpašības.

Doti mums pozitīvi skaitļi $a>0$ un $b>0$, x un y ir patvaļīgi racionāli skaitļi, tad ir spēkā šādas 5 īpašības:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Piemērs.
Vienkāršojiet izteiksmi: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Risinājums.
Pārrakstīsim skaitītājus pakāpju funkciju veidā:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Savedīsim to pie kopsaucēja:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2))))$ =$\frac(x-x^(\) frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Piemērs.
Atrisiniet vienādojumus:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Risinājums.
a) Paaugstiniet abas vienādojuma puses līdz piektajai pakāpei:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) Mūsu vienādojums ir ļoti līdzīgs iepriekšējiem. Ja mēs pārejam no rakstīšanas saknēm uz jaudas funkcijām, tad ieraksts būs identisks, taču ir vērts uzskatīt, ka mums uzreiz tiek dota spēka izteiksme. Pēc definīcijas skaitlis x var būt tikai pozitīvs, tad mums paliek viena atbilde $x=1$.

Piemērs.
Atrisiniet vienādojumu: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Risinājums.
Ieviesīsim jaunu mainīgo: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Tad mūsu vienādojums būs parasta kvadrātvienādojuma formā: $y^2+y-12=0$.
Atrisinot vienādojumu, iegūstam divas saknes: $y_1=-4$ un $y_2=3$.

Mums vienkārši jāatrisina divi vienādojumi: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ un $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Pirmajam vienādojumam nav sakņu. Atcerieties, ka jaudas funkcijas ar racionālu eksponentu tiek definētas tikai pozitīviem skaitļiem.
Atrisināsim otro vienādojumu:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Puiši, mēs apskatījām divus iracionālu vienādojumu risināšanas piemērus.

Uzskaitīsim galvenās iracionālo vienādojumu risināšanas metodes.
1) Abu vienādojuma pušu paaugstināšana vienādās pakāpēs(izmantojot šo metodi, jums jāpārbauda iegūtie risinājumi, jo var rasties sveši risinājumi).
2) Mainīgo aizstāšanas metode(jaunu mainīgo lielumu ieviešana).
3) Funkciju grafiku zīmēšana. Mēs attēlojam abas vienādojuma puses kā funkcijas, veidojam to grafikus un atrodam grafiku krustošanās punktus.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

Rokasgrāmatā ir iekļauti patstāvīgie un pārbaudes darbi par visām svarīgākajām tēmām matemātikas kursā 10.-11.klasei. Darbi sastāv no 6 iespējām ar trīs grūtības pakāpēm. Didaktiskie materiāli paredzēti studentu diferencēta patstāvīgā darba organizēšanai.

Piemēri.
Kastītē ir 10 bumbiņas, no kurām 3 ir baltas. Pa vienai bumbiņai secīgi tiek izņemta no kastes, līdz parādās balta bumbiņa. Atrodiet baltās bumbiņas parādīšanās varbūtību.

Trīs šāvēji šauj pa vienu un to pašu mērķi 2 reizes katrs. Zināms, ka trāpījuma iespējamība katram šāvējam ir 0,5 un nav atkarīga no citu šāvēju un iepriekšējo metienu rezultātiem. Vai ir iespējams teikt
ar varbūtību 0,99, ka vismaz viens šāviens trāpīs mērķī?
ar varbūtību 0,5, ka katrs šāvējs vismaz vienu reizi trāpīs mērķī?

SATURS
Trigonometrija
S-1. Trigonometrisko funkciju definīcija un īpašības. Leņķa grāds un radiāns
S-2. Trigonometriskās identitātes
S-3. Samazināšanas formulas. Papildināšanas formulas
S-4. Dubultā un pusleņķa formulas
S-5. Trigonometriskās formulas summas pārvēršanai reizinājumā un reizinājuma summā
S-6*. Papildu trigonometrijas problēmas (patstāvīgais mājas darbs)
K-1. Trigonometrisko izteiksmju konvertēšana
S-7. Funkciju vispārīgās īpašības. Funkciju grafiku transformācijas
S-8. Funkciju paritāte un periodiskums
S-9. Funkciju monotonija. Ekstrēmi C-10*. Funkciju izpēte. Harmoniskās svārstības (mājas prakses darbs)
K-2. Trigonometriskās funkcijas
S-11. Apgrieztās trigonometriskās funkcijas __
S-12*. Apgriezto trigonometrisko funkciju īpašību pielietošana (patstāvīgais mājas darbs)
S-13. Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi
S-14. Trigonometriskie vienādojumi
S-15. Sakņu izvēle trigonometriskajos vienādojumos. Trigonometrisko vienādojumu sistēmas
S-16*. Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes (patstāvīgais mājas darbs)
S-17*. Trigonometrisko vienādojumu sistēmas (patstāvīgais mājas darbs)
S-18. Vienkāršākās trigonometriskās nevienādības
S-19*. Trigonometrisko nevienādību risināšanas metodes (patstāvīgais mājas darbs)
K-3. Trigonometriskie vienādojumi, nevienādības, sistēmas
Algebra
S-20. N-tā sakne un tās īpašības
S-21. Iracionālie vienādojumi
S-22. Iracionālas nevienlīdzības. Iracionālo vienādojumu sistēmas
S-23*. Iracionālu vienādojumu, nevienādību, sistēmu risināšanas metodes (patstāvīgais mājas darbs)
S-24. Pakāpes jēdziena vispārinājums
K-4. Spēki un saknes
S-25. Eksponenciālie vienādojumi. Eksponenciālo vienādojumu sistēmas
S-26. Eksponenciālās nevienlīdzības
S-27*. Eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risināšanas metodes (patstāvīgais mājas darbs)
S-28*. Eksponenciālie jaudas vienādojumi un nevienādības (patstāvīgi mājasdarbi)
K-5. Eksponenciālā funkcija
S-29. Logaritms. Logaritmu īpašības
S-30. Logaritmiskie vienādojumi un sistēmas
S-31*. Logaritmu pielietojums transcendentālo vienādojumu un sistēmu risināšanā (patstāvīgais mājas darbs)
S-32. Logaritmiskās nevienādības
S-33*. Logaritmisko vienādojumu, nevienādību, sistēmu risināšanas metodes (patstāvīgais mājas darbs)
K-6. Logaritmiskā funkcija
S-34. Moduļa jēdziena vispārinājums. Vienādojumi un nevienādības ar moduli
Analīzes sākums
S-35. Skaitļu secību un funkciju robežu aprēķins. Funkciju nepārtrauktība
S-36. Atvasinājuma definīcija. Vienkāršākie atvasinājumu aprēķināšanas noteikumi
S-37. Trigonometrisko un komplekso funkciju atvasinājumi
S-38. Atvasinājuma ģeometriskā un mehāniskā nozīme
K-7. Atvasinājums
S-39. Monotoniskuma un ekstrēmu funkcijas izpēte
S-40*. Papildu funkciju apguve (patstāvīgais darbs mājās)
S-41*. Funkciju grafiku zīmēšana (mājas prakse)
S-42. Funkcijas lielākās un mazākās vērtības. Ekstrēmi izaicinājumi
S-43*. Diferenciālrēķina uzdevumi (patstāvīgais mājas darbs)
K-8. Atvasinājuma pielietojums
S-44. Antiatvasinājums. Antiatvasinājumu aprēķins
S-45. Noteikts integrālis. Platību aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli
S-46. Antiderivatīva un integrāļa pielietojums
S-47*. Atlasīti integrālrēķina uzdevumi (patstāvīgais mājas darbs)
K-9. Antiderivatīvs un integrāls
S-48. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums un antiatvasinājums
S-49. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums un antiatvasinājums
S-50. Jaudas funkcija
S-51*. Matemātiskās analīzes papildu problēmas (patstāvīgais mājas darbs)
K-10. Eksponenciālo, logaritmisko un jaudas funkciju atvasinājums un antiatvasinājums
Sarežģīti skaitļi
S-52. Kompleksā skaitļa jēdziens. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskā formā
S-53. Kompleksa skaitļa modulis un arguments. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem ģeometriskā formā
S-54. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma. Moivra formula
S-55*. Papildu problēmas ar kompleksajiem skaitļiem (neatkarīgs mājas darbs)
K-11. Sarežģīti skaitļi
Kombinatorika
S-56. Daudzas. Iestatīt darbības
S-57. Kombinatorikas pamatformulas. Vienkāršākās kombinatoriskās problēmas
S-58. Binomiālā teorēma. Binomiālo koeficientu īpašības
S-59. Kombinatoriskas problēmas. Summas noteikums un produkta noteikums
S-60*. Papildus uzdevumi kombinatorikā (patstāvīgais mājas darbs)
K-12. Kombinatorikas elementi
Varbūtību teorija
S-61. Klasiskā varbūtība. Kombinatorikas formulu izmantošana, aprēķinot varbūtību
S-62. Varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas
S-63. Varbūtība, ka notiks vismaz viens no neatkarīgiem notikumiem. Bernulli shēma
S-64*. Varbūtību teorijas papildu nodaļas (patstāvīgais mājas darbs)
K-13. Varbūtību teorijas elementi
ATBILDES
Atbildes uz testiem
Atbildes uz mājas neatkarīgu
strādāt
LITERATŪRA.

Lejupielādējiet e-grāmatu bez maksas ērtā formātā, skatieties un lasiet:
Lejupielādējiet grāmatu Neatkarīgs un pārbaudes darbs par algebru un analīzes principiem, 10.-11. klase, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, ātra un bezmaksas lejupielāde.

Nodarbības mērķis:

1. Zināšanu, prasmju un iemaņu vispārināšana un sistematizēšana.
2. Pamatzināšanu atjaunināšana vienotā valsts eksāmena nokārtošanas apstākļos.
3. Zināšanu, prasmju un iemaņu uzraudzība un paškontrole, izmantojot testus.
4. Salīdzināšanas un vispārināšanas spējas attīstība.

Nodarbības plāns.

1. Paziņojums par nodarbības mērķi (1 min)
2. Mutiskais darbs "Es ticu - es neticu!" (6 min)
3. Piemēru sērijas risināšana izteiksmju salīdzināšanai (12 min)
4. Sofistika (4–5 min)
5. Piemēra atrisināšana izteiksmes vienkāršošanai (no vienotā valsts eksāmena) ar "smalkāko" daļu apspriešanu (15 min)
6. Patstāvīgais darbs, pamatojoties uz vienotā valsts eksāmena demo versiju (A grupa) (5 min)
7. Mājas darbs (uz papīra lapiņām)

Aprīkojums: projektors.

1. Draugi! Jūsu acu priekšā ir daļa no angļu matemātiķa Džeimsa Džozefa Silvestra (1814–1897) izteikuma par matemātiku “Matemātika ir prāta mūzika”. Cik romantiski tas nav?

Jautājums. Kā, jūsuprāt, viņš definēja mūziku?

"Mūzika ir sajūtu matemātika."

Kā sajūtas varam iekļaut dažāda veida pārdzīvojumus. Šogad viens no jūsu un manu bažu iemesliem ir sekmīga Vienotā valsts eksāmena nokārtošana un līdz ar to arī uzņemšana augstskolā. Es ļoti vēlos, lai pozitīvas emocijas ņem virsroku. Ir jābūt pārliecībai, un tās ir mūsu zināšanas un prasmes. Šodien nodarbībās turpināsim gatavoties Vienotajam valsts eksāmenam, atkārtojot un vispārinot grāda jēdzienu.

Tātad, šodienas nodarbības tēma ir "Grāda jēdziena vispārināšana."

Mēs jau esam atkārtojuši pamatīpašības un definīcijas, un es aicinu jūs spēlēt spēli "Tici vai nē!"

Tavs uzdevums ir ātri (paļaujoties uz savu intuīciju, tā palīdzēs A grupas risināšanā) atbildēt uz jautājumu apstiprinoši vai noraidoši un pēc tam paskaidrot savu atbildi.

2. Mutiskais darbs "Es ticu - es neticu!"

1. Izteicieniem ir nozīme:

a) b) c) c) d)

3. Vienādojumam ir trīs saknes

(nē, sakne ir viena: 7, jo)

4. 1. vienādojuma mazākā sakne

3. Piemēru sērijas risināšana daļskaitļu salīdzināšanai. Tagad es ierosinu pievērst jūsu uzmanību vairākiem grādu salīdzināšanas piemēriem.

Jautājums. Kādus grādu salīdzināšanas veidus jūs zināt?

Rādītāju salīdzinājums ar vienādām bāzēm, bāzu salīdzinājums ar vienādiem eksponentiem.

1. Salīdziniet Un .

2. Salīdziniet skaitļus Un .

Kā redzat, lieta ir sarežģītāka.

Jautājums. Kādi skaitļi ir eksponenti?

Iracionāli.

Atradīsim racionālos skaitļus, kas ir tuvu dotajiem iracionālajiem skaitļiem, un mēģināsim salīdzināt pakāpes ar racionālo eksponentu.

Jo pakāpes bāze ir lielāka par 1, tad pēc grādu īpašības mums ir

Tagad salīdzināsim un.

Lai to izdarītu, pietiek salīdzināt un 2 vai un.

Bet , A .

Tagad mēs iegūstam nevienlīdzību ķēdi:

3. Salīdziniet skaitļus Un .

Izmantosim šādu radikāļu īpašību: ja , tad , kur .

Salīdzināsim un.

Novērtēsim viņu attieksmi:

Tādējādi .

Piezīmes.

1) Šajā gadījumā grādi un ir mazi, proti

, un tos nav grūti aprēķināt “manuāli”, t.i. bez kalkulatora. Jūs varat novērtēt grādus bez aprēķiniem:

Tāpēc,

2) Ja grādus tiešām nevar aprēķināt (pat ar kalkulatoru), piemēram, un , tad var izmantot nevienādību:

Tas attiecas uz jebkuru , un rīkojieties šādi:

ar visu dabisko.

Jūs to varat pierādīt pats

4. Sofistika. Nu, pāriesim uz citu darbu. Atradīsim kļūdu šādā argumentācijā, atspēkojot apgalvojumu:

"Viens ir vienāds ar bezgalīgi lielu pakāpi līdz patvaļīgam skaitlim."

Kā zināms, vienība, kas paaugstināta līdz jebkurai jaudai, ieskaitot nulli, ir vienāda ar vienu, t.i., kur A- jebkurš skaitlis. Tomēr paskatīsimies, vai tas tā ir vienmēr.

Ļaujiet X- patvaļīgs skaitlis. Ar vienkāršu reizināšanu ir viegli pārbaudīt, vai izteiksme (1) ir jebkuras identitāte X. Tad arī identitāte, kas izriet no (1), ir patiesa, proti . (2)

Patvaļīgam pozitīvam skaitlim A pastāv.

Vienlīdzība (2) nozīmē vienlīdzību

,

vai kas ir tas pats,

. (3)

Pieņemot identitāti (3) x=3, saņemam

, (4)

un ņemot vērā to , mēs to sapratām.

Tātad viena jauda, ​​pat ja eksponents ir vienāds ar bezgalību, ir vienāds ar patvaļīgu skaitli, bet nekādā gadījumā ne ar vienu, kā to prasa algebras noteikumi.

Risinājums.

Kļūda ir šāda.

Vienādība (1) patiešām ir spēkā visām vērtībām X un tāpēc tā ir identitāte. No tā iegūtā vienādība (2) vairs nav spēkā visām vērtībām X. Tātad, X nevar būt vienāds ar 2. jo saucēji (2) kreisajā un labajā pusē kļūst par nulli, un X nevar būt vienāds ar 3, jo saucējs (2) labajā pusē arī kļūst nulle. Plkst x = 3 vienlīdzība (2) iegūst formu , kam nav jēgas.

Attiecības (4) tiek iegūtas no (3) precīzi plkst x = 3, kas noveda pie absurda rezultāta.

Nu, tagad pāriesim uz priekšu uz 2004. gadu, kad uzdevumā C3 tika piedāvāts šāds skaitlis.

5. Piemēra risinājums (no Vienotā valsts pārbaudījuma).

Tā kā f(x) ir pieaugoša funkcija, tad .

Noskaidrosim, kura no šīm vērtībām ir tuvāk 0,7, ar kuru mēs salīdzinām

Un

Tā kā , f(26) vērtība ir tuvāk 0,7.

6. Patstāvīgais darbs, kam seko pārbaude uz tāfeles.

Un tagad ir laiks praktizēt: šeit ir piemēri no demonstrācijas versijas, gr. A 2009.

Jūs tos redzat gan uz tāfeles, gan uz papīra lapiņām. Tavs uzdevums ir ātri atrisināt un aizpildīt tabulas ar atbildēm. Saskaņojiet priekšā esošos burtus un ciparus. Pareizi aprēķinot vai vienkāršojot izteicienus tabulā, jūs izlasīsiet, kas jums nepieciešams, nokārtojot vienoto valsts eksāmenu.

1. variants – veiksme, zināšanas,

2. variants – pārliecība.

Tātad, šodien klasē mēs redzējām, cik plaši tiek izmantots grāda jēdziens, nokārtojot vienoto valsts eksāmenu. Jūs varat nostiprināt savas iegūtās prasmes, pildot mājasdarbus.

7. Mājas darbs.

Pievērsiet uzmanību mājasdarbam, jo ​​tas palīdzēs nostiprināt mācību stundā apgūto materiālu.