1. Uno dei problemi urgenti dei moderni metodi di insegnamento a scuola è lo sviluppo della motivazione degli studenti. L’aumento del carico mentale nelle lezioni di matematica ci fa pensare a come mantenere l’interesse degli studenti per il materiale studiato e la loro attività durante la lezione. Dobbiamo garantire che ogni studente lavori attivamente ed con entusiasmo durante le lezioni. In questa situazione, le tecnologie di gioco vengono in aiuto dell'insegnante: un metodo di insegnamento e educazione moderno e riconosciuto, che ha funzioni educative, di sviluppo e di nutrimento che operano in unità organica. Le forme di gioco dell'insegnamento nelle lezioni di matematica consentono di organizzare efficacemente l'interazione tra insegnante e studenti. Anche gli studenti più passivi vengono coinvolti nel gioco. Le attività di gioco motivano l'apprendimento; durante il gioco, ogni studente ha l'opportunità di pensare in modo indipendente, sviluppare il pensiero creativo e risolvere vari problemi (ovvero applicare le conoscenze acquisite in una specifica situazione di vita).

Scaricamento:

Anteprima:

Scuola secondaria dell'istituto scolastico di bilancio comunale n. 24 con studio approfondito delle singole materie umanistiche che portano il nome. I.S. Turgenev, Oryol

Sviluppo metodologico della lezione

Algebra e gli inizi dell'analisi

Grado 11

Libro di testo: Mordkovich A.G. Algebra e gli inizi dell'analisi. 10-11 gradi: libro di testo. Per l'istruzione generale istituzioni. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 p.: ill. (base)

Insegnante di matematica: Moreva Oksana Vladimirovna

Riassunto del lavoro: Uno dei problemi urgenti dei moderni metodi di insegnamento a scuola è lo sviluppo della motivazione degli studenti. L’aumento del carico mentale nelle lezioni di matematica ci fa pensare a come mantenere l’interesse degli studenti per il materiale studiato e la loro attività durante la lezione. Dobbiamo garantire che ogni studente lavori attivamente ed con entusiasmo durante le lezioni. In questa situazione, le tecnologie di gioco vengono in aiuto dell'insegnante: un metodo di insegnamento e educazione moderno e riconosciuto, che ha funzioni educative, di sviluppo e di nutrimento che operano in unità organica. Le forme di gioco dell'insegnamento nelle lezioni di matematica consentono di organizzare efficacemente l'interazione tra insegnante e studenti. Anche gli studenti più passivi vengono coinvolti nel gioco. Le attività di gioco motivano l'apprendimento; durante il gioco, ogni studente ha l'opportunità di pensare in modo indipendente, sviluppare il pensiero creativo e risolvere vari problemi (ovvero applicare le conoscenze acquisite in una specifica situazione di vita).

Mappa delle lezioni tecnologiche

Piano di lezione

1. Momento organizzativo (2-3 min.)
2. Aggiornamento delle conoscenze di base (5 min.)
3. “La conquista delle vette” (30 min.)

• Prima altezza (autotest)
• Seconda altezza (lavoro di gruppo)
• Terza quota (lavoro individuale differenziato).

1. Riassumendo (4 - 5 min.)
2. Compiti a casa (2 – 3 minuti)
3. Riflessione sul raggiungimento degli obiettivi (1 min.)

Durante le lezioni:

1. Organizzare il tempo

La lezione inizia con l'ascolto di un estratto dalla canzone di V.V. Vysotsky "Solo le montagne possono essere migliori delle montagne" (diapositiva 2).

Insegnante: Tutti nella vita hanno delle vette che si sforzano di conquistare. Qualcuno vuole diventare un medico, qualcuno è un atleta e qualcuno potrebbe voler diventare un alpinista. Dopotutto, le altezze hanno sempre attratto le persone. Ricorda Icaro, perché il suo sogno era volare verso il Sole. E ha realizzato il suo sogno. L'essenza di una persona è raggiungere sempre l'obiettivo prefissato. L'epigrafe della nostra lezione sono le parole della canzone che hai ascoltato.

Come brilla di fuoco eterno durante il giorno
Cima di ghiaccio smeraldo,
Che non hai mai vinto.

V.V.Vysotsky

Oggi in classe ti invito a una spedizione alla conquista delle vette delle montagne. Dovete trasformarvi in ​​atleti dell'alpinismo conquistando l'apice della conoscenza chiamato “Laurea con esponente frazionario” (slide 3).

Attività degli studenti:Gli studenti scrivono l'argomento della lezione nel loro quaderno di esercizi.

1. Aggiornamento delle conoscenze di riferimento

Insegnante: Di fronte a ognuno di voi c'è una carta: un segnalino in cui registrerete i vostri successi nella conquista delle vette delle montagne(Allegato 1) . Inserisci il tuo nome e cognome nella riga superiore. Su questa scheda registrerai il passaggio di ogni altezza in punti. Alla fine della lezione, calcolerai autonomamente i punti che hai ottenuto per la lezione e scoprirai se sei riuscito a conquistare o meno l '"altezza della montagna".

Controllo dell'attrezzatura: "Cosa porteremo con noi in viaggio?"(diapositiva4).

Insegnante: Come sai, una spedizione è sempre preceduta da un'attenta preparazione, quindi all'inizio ti consiglio di verificare la tua disponibilità a conquistare la vetta della montagna.

1) Continua la frase: Se è una frazione ordinaria (q ≠1) e a ≥ 0, quindi sotto a p/q capisco...

2) Calcolare verbalmente: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (I compiti possono essere scritti in anticipo sulla lavagna o presentati sotto forma di carte)

3) Continua con le seguenti proprietà (le attività possono essere scritte sulla lavagna in anticipo)

un s ∙ un t = …

un s : un t = …

(a·s) t = …

(ab)s = …

() s = ...

4) Calcola oralmente:(Il compito può essere scritto in anticipo sulla lavagna)

Insegnante: Quindi, l'attrezzatura viene raccolta. Andiamo in montagna per conquistare le vette.

1. Alla conquista delle vette

Prima altezza “Valanga di neve”(Test di autoverifica)

Insegnante: Tutte le montagne sono tanto belle quanto pericolose. Molti pericoli attendono gli scalatori in montagna. La prima cosa che dovremo affrontare in montagna sarà una valanga (diapositiva 5). Per uscire da sotto la neve, devi completare la seguente attività.

Attività degli studenti:Gli studenti ricevono un'attività per due opzioni e la completano in modo indipendente nelle loro cartelle di lavoro. (Ogni studente riceve il suo compito su una carta.) Due studenti lavorano dal retro della lavagna. Il completamento dell'attività richiederà 5-7 minuti.

opzione 1

opzione 2

1. Calcola: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
2. Semplifica l'espressione: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

Alla fine del lavoro, gli studenti che hanno lavorato alla lavagna girano la scacchiera. Il loro lavoro viene controllato dall'insegnante. Gli studenti che hanno lavorato sui notebook effettuano degli autotest. Cioè, ogni studente verifica autonomamente la correttezza del proprio compito, in base alla soluzione alla lavagna. Ogni attività completata correttamente vale 2 punti. I punti ottenuti completando la “Valanga di neve” vengono registrati sulla carta contatore.

Minuto di educazione fisica.

Insegnante: Conquistare le vette delle montagne è un compito molto difficile. Eravamo tutti molto stanchi nel liberarci dalla nevicata. Ti suggerisco di fare una pausa.

Esercizio “Dai, provalo!”:

L'insegnante invita gli studenti ad allungare la mano in avanti con il palmo aperto rivolto verso l'alto. Premi il pollice sul palmo della mano. Le dita rimanenti dovrebbero essere scoperte. Ora premi il mignolo. Accaduto? Non così!

Seconda altezza “Ice Crack”(lavorare in gruppi)

Insegnante: Mentre stavamo riposando, sulla nostra strada è apparsa una crepa nel ghiaccio (diapositiva 6). Sai come si comportano gli alpinisti in una situazione del genere?

Esempi di risposte degli studenti:Gli alpinisti si aiutano a vicenda... Per sollevare uno scalatore da una fessura, gli lanciano una corda... Lavorano insieme... È molto difficile uscire da soli, hai bisogno dell’aiuto di un amico…….

Insegnante: Dalle vostre risposte ne consegue che per uscire da una crepa nel ghiaccio è necessario lavorare in squadra. Quindi tu ed io eseguiremo il prossimo compito in gruppi.

Attività degli studenti:La classe è divisa in gruppi di 4-5 persone. Ogni gruppo riceve una carta con i compiti in cui ha commesso degli errori. Gli studenti devono trovarli e correggerli. Il completamento dell'attività richiederà 5-7 minuti.

Carta 1

Trova errori

1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Carta 2

Trova errori

Carta 3

Trova errori

1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1 )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Carta 4

Trova errori

Al termine del lavoro, gli insegnanti riferiscono al docente gli errori riscontrati e corretti. L'insegnante verifica la correttezza del compito. Per ogni errore corretto vengono assegnati 2 punti a ciascun membro del gruppo. I punti ottenuti per aver completato l'“Ice Crack” vengono registrati sulla carta contatore.

Terza altezza “Caduta massi”(lavoro individuale differenziato).

Insegnante: Prima che avessimo il tempo di uscire dalla fessura del ghiaccio, siamo stati colpiti da una frana di massi (diapositiva 7). Le macerie vanno rimosse. Tutte le pietre sono diverse: grandi e piccole. Alcuni indosseranno pietre piccole e altri ne indosseranno di grandi. Ognuno sceglierà un compito in base alla propria forza.

Attività degli studenti:Gli studenti ricevono una scelta di compiti differenziati di vari livelli di difficoltà.

Coloro che hanno scelto le “pietre grandi” ricevono compiti di livello superiore su carte individuali. In base ai risultati del completamento di questa attività, potranno guadagnare fino a 8 punti. Ogni attività completata correttamente vale 2 punti.

opzione 1

Riduci la frazione:

UN) ; B) ; C) ; D)

opzione 2

Riduci la frazione:

Alla fine del lavoro, l'insegnante verifica la correttezza del compito.

E chi ha scelto le “pietre” svolge compiti di livello base sotto forma di test (vedi il test interattivo sul disco o in Appendice 2 ). In base ai risultati del completamento di questa attività, possono guadagnare fino a 5 punti.

I punti ottenuti per aver completato la “Calata massi” vengono registrati sulla carta contatore.

1. Riassumendo il gioco:

Insegnante: Cari “scalatori”! Calcoliamo i punti che hai ottenuto in base ai risultati delle tre prove.

Attività degli studenti:Gli studenti contano i punti ottenuti e li annotano nella colonna “Risultato complessivo”.

Insegnante: Riassumiamo (diapositiva 8). Se hai segnato 18-20 punti, hai conquistato la vetta più alta - ben fatto (voto eccellente)! Se hai segnato 15 - 17 punti, hai conquistato la seconda altezza, bene ( voto buono) . Se 11 - 14 punti significa che hai superato solo la prima altezza, anche questo non è male (voto soddisfacente). Se hai segnato meno di 11 punti, sei rimasto in fondo al picco. Ma non arrabbiarti! Ancora una volta è necessario allenarsi e ripetere la salita, la vetta è ancora davanti a te!

Attività degli studenti:Gli studenti, in base alla valutazione, si danno un voto per la lezione nella colonna "Voto" e consegnano la loro carta - il contatore all'insegnante.

Insegnante (a tua discrezione)trasferisce questi voti al giornale.

1. Compiti a casa:§ 37; N. 37.28; N. 37.30ag; N. 37.39*b

N. 37.28. Ridurre la frazione: a); B) ; V); G) .

N. 37.30ag. Semplifica l'espressione: a) (1 +) 2 - 2 ; d) + - ( + )2

N. 37.39*b. Semplifica l'espressione: b) ( + )

1. Riflessione sul raggiungimento degli obiettivi:

Insegnante: Ora ti chiederò di continuare una o più frasi (slide 9)

• Era interessante…
• era difficile…
• Ho completato i compiti...
• Sono riuscito …
• mi ha dato una lezione di vita...

Attività degli studenti:Gli studenti continuano una o più frasi come desiderano.

Insegnante: La nostra lezione è iniziata con una canzone e voglio concluderla con una poesia(diapositiva 10) . Legge una poesia.

L'aspirazione del cuore alla vetta è onorevole,

È bello guardare la terra dall'alto.

Asceso... Sei un eroe, un vincitore da ora in poi

E sembra che il mondo celeste sia nelle nostre mani.

La cima è un deserto, solo pietre sagge

Guardando con calma le stelle brillare...

Per loro non sei niente, un vagabondo perduto,

Prigioniero di illusioni, sogni dubbi...

La vetta ti dà la sensazione di volare,

Libertà dall'eterno trambusto del mondo,

Le porte sono aperte ad una conoscenza diversa...

La maturità della sua purezza è emozionante...

Appendice al programma della lezione“Generalizzazione del concetto di esponente”

Allegato 1.

Carta – contatore __________________________ (Cognome, nome)

Appendice 2.

Test

Scegli una delle risposte suggerite.

1. Semplifica l’espressione: (1 – s 1/2 )(1 + s 1/2 )

• (1 – con 1/2) 2
• 1 – s
• 1 – 2s 1/2 + s

1. Semplifica l’espressione: (1 – a 1/2 ) 2

• 1 – un + un 2

• –2a+a2

• 1 – 2a 1/2 + a

1. Fattore in: 3/4 – 1/2

• in 3/4 (1 – pollici)
• in 1/2 (in 1/4 – 1)
• in 1/2 (in 1/2 – 1)
• non può essere decomposto

1. Fattorizzare: a – b

• aw (a 1/2 – in 1/2)
• (a – in 1/2) (a + in 1/2)
• non può essere decomposto
• (a 1/2 – in 1/2) (a 1/2 + in 1/2)

Punteggio del test: 1 risposta corretta – 2 punti; 2 risposte corrette – 3 punti;3 risposte corrette – 4 punti; 4 risposta corretta – 5 punti.

Lezione e presentazione sul tema: "Generalizzazione dei concetti sugli esponenti"

Materiali aggiuntivi
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Ragazzi, in questa lezione generalizzeremo la conoscenza sugli esponenti. Possiamo calcolare le potenze con qualsiasi esponente intero. Cosa succede se l'esponente non è un numero intero? E qual è la connessione tra le radici e le funzioni potenza di un esponente non intero?

Ripetiamolo un po', consideriamo un numero nella forma $a^n$.
1. Se $n=0$, allora $a^n=a^0=1$.
2. Se $n=1$, allora $a^n=a^1=a$.
3. Se $n=2,3,4,5$… allora $a^n=a*a*a…*a$ (n fattori).
4. Se $n=1,2,3,4,5$… e $a≠0$, allora $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Le regole di cui sopra possono essere utilizzate anche come promemoria!

In tutte le regole presentate sopra, l'esponente è un numero intero. Cosa fare nel caso di esponente frazionario?
Qual è il numero $2^(\frac(2)(3))$ e come utilizzarlo? Quando si lavora con tali poteri, è necessario che tutte le proprietà dei poteri interi siano preservate. Ad esempio, quando si elevava un grado a una potenza, gli indicatori venivano moltiplicati.

Ad esempio: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Introduciamo la seguente sostituzione di simboli: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Quindi: $a^3=2^2$.
Otteniamo: $a=\sqrt(2^2)$.
Cioè, possiamo presentare l'espressione originale in questa forma: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Definizione. Data una frazione ordinaria $\frac(a)(b)$, $b≠1$ e $x≥0$, allora $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x^a)$.

Ad esempio: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Moltiplichiamo due numeri con le stesse basi ma potenze diverse:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Ma notiamo anche: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
Cioè: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Aggiungere le frazioni è molto più semplice che lavorare con i radicali (devi portare gli esponenti nella stessa forma e poi semplicemente moltiplicarli). Pertanto, è consuetudine passare alle funzioni di potenza con esponente frazionario.

Esempio.
Calcolare:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Soluzione.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Possiamo estrarre una radice con esponente frazionario solo da un numero positivo, ragazzi, guardate la nostra definizione. La nostra espressione non ha senso.
Sembra che $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ sia la notazione corretta, ma diamo un'occhiata più da vicino alla nostra espressione: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\quadrato (1024)=2$.
Abbiamo ricevuto un'espressione contraddittoria, sebbene tutte le operazioni siano state eseguite correttamente, secondo le proprietà e le definizioni. Pertanto, i matematici vietarono di elevare i numeri negativi a potenze frazionarie.

Ragazzi, ricordate: Possiamo solo elevare i numeri positivi a potenze frazionarie!

Definizione. Sia data una frazione ordinaria $\frac(a)(b)$, $b≠1$ e $х>0$, allora $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

Ad esempio: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Tutte le proprietà che abbiamo riscontrato lavorando con i numeri di potenza vengono preservate nel caso delle potenze razionali, ripetiamo le proprietà.

Dati i numeri positivi $a>0$ e $b>0$, xey sono numeri razionali arbitrari, valgono le seguenti 5 proprietà:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Esempio.
Semplificare l'espressione: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Soluzione.
Riscriviamo i numeratori sotto forma di funzioni di potenza:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Portiamolo ad un denominatore comune:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2))))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Esempio.
Risolvi le equazioni:
a) $\quadrato(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Soluzione.
a) Eleva alla quinta potenza entrambi i membri dell'equazione:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) La nostra equazione è molto simile alle precedenti. Se passiamo dalla scrittura delle radici alle funzioni di potenza, la registrazione sarà identica, ma vale la pena considerare che ci viene immediatamente data un'espressione di potenza. Per definizione, il numero x può essere solo positivo, quindi ci resta la risposta $x=1$.

Esempio.
Risolvi l'equazione: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Soluzione.
Introduciamo una nuova variabile: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Quindi la nostra equazione assumerà la forma di un'equazione quadratica ordinaria: $y^2+y-12=0$.
Risolta l'equazione, otteniamo due radici: $y_1=-4$ e $y_2=3$.

Dobbiamo solo risolvere due equazioni: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ e $x^(-\frac(1)(5))=3$.
La prima equazione non ha radici. Ricordiamo che le funzioni di potenza con esponente razionale sono definite solo per numeri positivi.
Risolviamo la seconda equazione:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Ragazzi, abbiamo esaminato due esempi di risoluzione di equazioni irrazionali.

Elenchiamo i principali metodi per risolvere le equazioni irrazionali.
1) Elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza(quando si utilizza questo metodo, è necessario verificare le soluzioni ottenute, poiché potrebbero verificarsi soluzioni estranee).
2) Metodo di sostituzione variabile(introduzione di nuove variabili).
3) Tracciare grafici di funzioni. Rappresentiamo entrambi i lati dell'equazione come funzioni, costruiamo i loro grafici e troviamo i punti di intersezione dei grafici.

Problemi da risolvere in autonomia

Il manuale contiene lavori indipendenti e di prova su tutti gli argomenti più importanti del corso di matematica per le classi 10-11. Le opere consistono in 6 opzioni di tre livelli di difficoltà. I materiali didattici sono destinati all'organizzazione del lavoro indipendente differenziato degli studenti.

Esempi.
In una scatola ci sono 10 palline di cui 3 bianche. Una pallina alla volta viene rimossa in sequenza dalla scatola finché non appare una pallina bianca. Trova la probabilità che appaia una pallina bianca.

Tre tiratori sparano allo stesso bersaglio 2 volte ciascuno. È noto che la probabilità di un colpo per ciascun tiratore è 0,5 e non dipende dai risultati degli altri tiratori e dai tiri precedenti. È possibile dirlo
con una probabilità pari a 0,99 che almeno un colpo vada a segno?
con una probabilità pari a 0,5 che ciascun tiratore colpisca il bersaglio almeno una volta?

CONTENUTO
Trigonometria
S-1. Definizione e proprietà delle funzioni trigonometriche. Misure di angoli in gradi e radianti
S-2. Identità trigonometriche
S-3. Formule di riduzione. Formule di addizione
S-4. Formule del doppio e del mezzo angolo
S-5. Formule trigonometriche per convertire una somma in un prodotto e un prodotto in una somma
S-6*. Ulteriori problemi di trigonometria (compiti a casa indipendenti)
K-1. Conversione di espressioni trigonometriche
S-7. Proprietà generali delle funzioni. Trasformazioni di grafici di funzioni
S-8. Parità e periodicità delle funzioni
S-9. Monotonia delle funzioni. Estremi C-10*. Ricerca di funzioni. Oscillazioni armoniche (esercitazione a casa)
K-2. Funzioni trigonometriche
S-11. Funzioni trigonometriche inverse __
S-12*. Applicazione delle proprietà delle funzioni trigonometriche inverse (compiti a casa indipendenti)
S-13. Le più semplici equazioni trigonometriche
S-14. Equazioni trigonometriche
S-15. Scelta delle radici nelle equazioni trigonometriche. Sistemi di equazioni trigonometriche
S-16*. Metodi per risolvere equazioni trigonometriche (compiti a casa indipendenti)
S-17*. Sistemi di equazioni trigonometriche (compiti a casa indipendenti)
S-18. Le disuguaglianze trigonometriche più semplici
S-19*. Metodi per risolvere le disuguaglianze trigonometriche (compiti a casa indipendenti)
K-3. Equazioni trigonometriche, disequazioni, sistemi
Algebra
S-20. L'ennesima radice e le sue proprietà
S-21. Equazioni irrazionali
S-22. Disuguaglianze irrazionali. Sistemi di equazioni irrazionali
S-23*. Metodi per risolvere equazioni irrazionali, disuguaglianze, sistemi (compiti indipendenti)
S-24. Generalizzazione del concetto di laurea
K-4. Poteri e radici
S-25. Equazioni esponenziali. Sistemi di equazioni esponenziali
S-26. Disuguaglianze esponenziali
S-27*. Metodi per risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali (compiti a casa indipendenti)
S-28*. Equazioni e disuguaglianze di potenza esponenziali (compiti a casa indipendenti)
K-5. Funzione esponenziale
S-29. Logaritmo. Proprietà dei logaritmi
S-30. Equazioni e sistemi logaritmici
S-31*. Applicazione dei logaritmi nella risoluzione di equazioni e sistemi trascendenti (compiti a casa indipendenti)
S-32. Disuguaglianze logaritmiche
S-33*. Metodi per risolvere equazioni logaritmiche, disequazioni, sistemi (compiti a casa indipendenti)
K-6. Funzione logaritmica
S-34. Generalizzazione del concetto di modulo. Equazioni e disequazioni con modulo
Inizio dell'analisi
S-35. Calcolo dei limiti di sequenze numeriche e funzioni. Continuità della funzione
S-36. Definizione di derivato. Le regole più semplici per il calcolo dei derivati
S-37. Derivate di funzioni trigonometriche e complesse
S-38. Significato geometrico e meccanico della derivata
K-7. Derivato
S-39. Studio di una funzione per monotonicità ed estremi
S-40*. Studio aggiuntivo della funzione (lavoro indipendente da casa)
S-41*. Tracciare grafici di funzioni (pratica domestica)
S-42. I valori più grandi e più piccoli di una funzione. Sfide estreme
S-43*. Problemi selezionati di calcolo differenziale (compiti a casa indipendenti)
K-8. Applicazione del derivato
S-44. Antiderivativo. Calcolo degli antiderivativi
S-45. Integrale definito. Calcolo delle aree utilizzando un integrale definito
S-46. Applicazione dell'antiderivativa e dell'integrale
S-47*. Problemi selezionati di calcolo integrale (compiti a casa indipendenti)
K-9. Antiderivativa e integrale
S-48. Derivata e antiderivativa di una funzione esponenziale
S-49. Derivata e antiderivativa di una funzione logaritmica
S-50. Funzione di potenza
S-51*. Ulteriori problemi di analisi matematica (compiti a casa indipendenti)
K-10. Derivativa e antiderivativa delle funzioni esponenziali, logaritmiche e di potenza
Numeri complessi
S-52. Il concetto di numero complesso. Operazioni con numeri complessi in forma algebrica
S-53. Modulo e argomento di un numero complesso. Operazioni con numeri complessi in forma geometrica
S-54. Forma trigonometrica di un numero complesso. La formula di Moivre
S-55*. Ulteriori problemi con i numeri complessi (compiti a casa indipendenti)
K-11. Numeri complessi
Combinatoria
S-56. Moltitudini. Imposta operazioni
S-57. Formule base della combinatoria. I problemi combinatori più semplici
S-58. Teorema binomiale. Proprietà dei coefficienti binomiali
S-59. Problemi combinatori. Regola della somma e regola del prodotto
S-60*. Compiti aggiuntivi in ​​combinatoria (compiti a casa indipendenti)
K-12. Elementi di combinatoria
Teoria della probabilità
S-61. Probabilità classica. Utilizzo di formule combinatorie nel calcolo della probabilità
S-62. Teoremi di addizione e moltiplicazione di probabilità
S-63. La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi indipendenti. Schema Bernoulliano
S-64*. Capitoli aggiuntivi di teoria della probabilità (compiti a casa indipendenti)
K-13. Elementi di teoria della probabilità
RISPOSTE
Risposte ai test
Risposte a casa indipendente
lavoro
LETTERATURA.

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Lo scopo della lezione:

1. Generalizzazione e sistematizzazione di conoscenze, abilità e abilità.
2. Aggiornamento delle conoscenze di base nelle condizioni per il superamento dell'Esame di Stato Unificato.
3. Monitoraggio e autocontrollo delle conoscenze, abilità e abilità mediante test.
4. Sviluppo della capacità di confrontare e generalizzare.

Piano di lezione.

1. Dichiarazione dello scopo della lezione (1 min)
2. Lavoro orale "Credo - non credo!" (6 minuti)
3. Risolvere una serie di esempi per confrontare le espressioni (12 min)
4. Sofismi (4-5 minuti)
5. Risolvere un esempio per semplificare un'espressione (dall'Esame di Stato Unificato) con discussione delle parti più “sottili” (15 min)
6. Lavoro indipendente basato sulla versione demo dell'Esame di Stato Unificato (gruppo A) (5 min)
7. Compiti a casa (su pezzi di carta)

Attrezzatura: proiettore.

1. Amici! Davanti ai tuoi occhi c’è parte di un’affermazione del matematico inglese James Joseph Sylvester (1814–1897) sulla matematica “La matematica è la musica della mente”. Quanto è romantico, non è vero?

Domanda. Come pensi che abbia definito la musica?

“La musica è la matematica dei sentimenti.”

Possiamo includere vari tipi di esperienze come sentimenti. Quest'anno uno dei motivi delle vostre e mie preoccupazioni è il superamento dell'Esame di Stato Unificato e, di conseguenza, l'ammissione all'università. Voglio davvero che prevalgano le emozioni positive. Ci deve essere fiducia, e questa è la nostra conoscenza e competenza. Oggi in classe continueremo la preparazione all'Esame di Stato Unificato, ripetendo e generalizzando il concetto di laurea.

Quindi, l'argomento della lezione di oggi è “Generalizzazione del concetto di laurea”.

Abbiamo già ripetuto le proprietà e le definizioni di base e ti invito a giocare al gioco "Che tu ci creda o no!"

Il tuo compito è rispondere rapidamente (affidandoti al tuo intuito, aiuterà a risolvere il gruppo A) alla domanda in modo affermativo o negativo, quindi spiegare la tua risposta.

2. Lavoro orale "Credo - non credo!"

1. Le espressioni hanno significato:

a) b) c) c) d)

3. L'equazione ha tre radici

(no, la radice è una: 7, perché)

4. Radice minima dell'equazione 1

3. Risolvere una serie di esempi per confrontare le frazioni. Ora propongo di attirare la vostra attenzione su una serie di esempi di confronto dei titoli di studio.

Domanda. Quali modi di confrontare i titoli di studio conosci?

Confronto di indicatori con le stesse basi, confronto di basi con gli stessi esponenti.

1. Confronta E .

2. Confronta i numeri E .

Come puoi vedere, il caso è più complicato.

Domanda. Quali numeri sono esponenti?

Irrazionale.

Troviamo i numeri razionali che si avvicinano ai numeri irrazionali dati e proviamo a confrontare le potenze con l'esponente razionale.

Perché la base del grado è maggiore di 1, quindi per la proprietà dei gradi abbiamo

Confrontiamo ora e .

Per fare ciò, è sufficiente confrontare e 2 o e.

Ma , UN .

Ora otteniamo una catena di disuguaglianze:

3. Confronta i numeri E .

Usiamo la seguente proprietà dei radicali: se , allora , dove .

Confrontiamo e .

Valutiamo il loro atteggiamento:

Così, .

Appunti.

1) In questo caso i gradi e sono piccoli, vale a dire

, e non sono difficili da calcolare “manualmente”, cioè senza calcolatrice. Puoi stimare i gradi senza calcoli:

Ecco perché,

2) Se i gradi non possono davvero essere calcolati (nemmeno su una calcolatrice), ad esempio, e , allora puoi usare la disuguaglianza:

True per any , e fai questo:

con tutto naturale.

Puoi dimostrarlo tu stesso

4. Sofismi. Bene, passiamo a un altro lavoro. Troviamo un errore nel seguente ragionamento, confutando l'affermazione:

“Uno è uguale ad un grado infinitamente grande ad un numero arbitrario.”

Come è noto, un'unità elevata a qualsiasi potenza, compreso lo zero, è uguale a uno, cioè dove UN- qualsiasi numero. Vediamo, però, se è sempre così.

Permettere X– numero arbitrario. Mediante una semplice moltiplicazione è facile verificare che l'espressione (1) è un'identità per qualsiasi X. Allora è vera anche l’identità che segue da (1), vale a dire . (2)

Per un numero positivo arbitrario UN esiste.

L'uguaglianza (2) implica l'uguaglianza

,

o, cosa è lo stesso,

. (3)

Assumere identità (3) x=3, noi abbiamo

, (4)

e tenendo conto di ciò , lo capiamo.

Quindi, la potenza di uno, anche quando l'esponente è uguale a infinito, è uguale a un numero arbitrario, ma non a uno, come richiesto dalle regole dell'algebra.

Soluzione.

L'errore è il seguente.

L'uguaglianza (1) è infatti valida per tutti i valori X e quindi è un'identità. L'uguaglianza (2) da essa ottenuta non è più valida per tutti i valori X. COSÌ, X non può essere uguale a 2. poiché i denominatori sui lati sinistro e destro di (2) diventano zero, e X non può essere uguale a 3, poiché anche il denominatore a destra di (2) diventa zero. A x = 3 l'uguaglianza (2) assume la forma , il che non ha senso.

La relazione (4) si ottiene da (3) precisamente a x = 3, che ha portato ad un risultato assurdo.

Bene, ora andiamo avanti velocemente fino al 2004, quando il seguente numero fu proposto nel compito C3.

5. Soluzione dell'esempio (dall'Esame di Stato Unificato).

Poiché f(x) è una funzione crescente, allora .

Troviamo quale di questi valori è più vicino a 0,7, per il quale confrontiamo

E

Poiché , il valore di f(26) è più vicino a 0,7.

6. Lavoro autonomo seguito da verifica a bordo.

E ora è il momento di esercitarsi: ecco gli esempi tratti dalla versione demo, gr.A 2009.

Li vedi sia sulla lavagna che su pezzi di carta. Il tuo compito è risolvere rapidamente e compilare le tabelle con le risposte. Abbina le lettere e i numeri davanti a te. Calcolando correttamente o semplificando le espressioni presenti nella tabella, leggerai ciò che ti serve per superare l'Esame di Stato Unificato.

Opzione 1 – fortuna, conoscenza,

Opzione 2 – fiducia.

Allora, oggi in classe abbiamo visto quanto sia diffuso il concetto di laurea quando si supera l'Esame di Stato Unificato. Puoi consolidare le competenze acquisite svolgendo i compiti.

7. Compiti a casa.

Presta attenzione ai tuoi compiti, ti aiuterà a consolidare il materiale trattato in classe.